Прямоугольные треугольники АВС и ABD имеют общую гипотенузу АB. Известно, что AC||BD. До- кажите, что AD = BC.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ABD, у которых AB — общая гипотенуза.
2. Дано, что AC || BD.
3. Поскольку AC || BD, углы CAB и DBA являются накрест лежащими при секущей AB, следовательно, ∠CAB = ∠DBA.
4. Также углы ACB и BDA — прямые углы (90°), так как ABC и ABD — прямоугольные треугольники.
5. Рассмотрим треугольники ABC и ABD. У них:
   • AB — общая гипотенуза.
   • ∠CAB = ∠DBA (доказано выше).
6. Поскольку треугольники прямоугольные и имеют равные углы, они подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников).
7. В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны. Однако, чтобы доказать равенство AD = BC, нам нужно показать, что треугольники не только подобны, но и равны.
8. Рассмотрим углы ABC и BAD. Так как ∠CAB = ∠DBA и ∠ACB = ∠BDA = 90°, то ∠ABC = 90° - ∠CAB и ∠BAD = 90° - ∠DBA. Следовательно, ∠ABC = ∠BAD.
9. Теперь у нас есть два треугольника ABC и ABD, у которых:
   • AB — общая сторона.
   • ∠CAB = ∠DBA.
   • ∠ABC = ∠BAD.
10. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники ABC и ABD равны.
11. Следовательно, соответственные стороны равны, то есть AD = BC.

Ответ: AD = BC, что и требовалось доказать.