Прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общую гипотенузу AB. Известно, что AB – биссектриса угла CAD. Докажите, что BA – биссектриса угла CBD. Известно, что BA – биссектриса угла CBD. Докажите, что AB – биссектриса угла CAD.

Question

Вопрос:

Прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общую гипотенузу AB. Известно, что AB – биссектриса угла CAD. Докажите, что BA – биссектриса угла CBD. Известно, что BA – биссектриса угла CBD. Докажите, что AB – биссектриса угла CAD.

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: В задачах даны прямоугольные треугольники с общей гипотенузой. Нужно доказать, что если одна из сторон является биссектрисой одного угла, то другая сторона также является биссектрисой другого угла.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда AB – биссектриса угла CAD.

Так как треугольники ABC и ABD прямоугольные и имеют общую гипотенузу AB, то точки C и D лежат на окружности с диаметром AB.
Угол CAB равен углу DAB, так как AB – биссектриса угла CAD.
Следовательно, дуги CB и DB равны, так как они опираются на равные углы.
Из равенства дуг CB и DB следует равенство углов CBD и DBA, так как они являются вписанными и опираются на равные дуги.
Таким образом, BA – биссектриса угла CBD.

Аналогично доказывается и обратное утверждение: если BA – биссектриса угла CBD, то AB – биссектриса угла CAD.