Прямоугольник ABCD разбит на прямоугольники с площадями S₁ = 15, S₃ = 45, S₄ = 18. Найти S₂.

Решение:

Обозначим стороны прямоугольника ABCD как AB = CD = a и BC = AD = b. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника. Пусть стороны, разделяющие прямоугольник, имеют длины x и y, где x < a и y < b. Тогда:

• S₁ = x ⋅ y
• S₂ = (a - x) ⋅ y
• S₃ = x ⋅ (b - y)
• S₄ = (a - x) ⋅ (b - y)

Нам дано:

• S₁ = 15
• S₃ = 45
• S₄ = 18

Из данных площадей можно составить соотношения:

S₁ / S₃ = (x ⋅ y) / (x ⋅ (b - y)) = y / (b - y) = 15 / 45 = 1/3

S₂ / S₄ = ((a - x) ⋅ y) / ((a - x) ⋅ (b - y)) = y / (b - y) = S₂ / 18

Так как обе дроби равны y / (b - y), то:

S₂ / 18 = 1/3

Выразим S₂:

S₂ = 18 ⋅ (1/3) = 6

Проверка:

S₁ / S₂ = (x ⋅ y) / ((a - x) ⋅ y) = x / (a - x) = 15 / 6 = 5/2

S₃ / S₄ = (x ⋅ (b - y)) / ((a - x) ⋅ (b - y)) = x / (a - x) = 45 / 18 = 5/2

Соотношения совпадают.

Ответ: S₂ = 6.