Прямая y=6x-3 является касательной к графику функции y=3x²+bx. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение:

1. Чтобы прямая \( y = 6x - 3 \) была касательной к графику функции \( y = 3x^2 + bx \), их производные в точке касания должны быть равны, и значения функций в этой точке также должны совпадать.
2. Найдем производную функции \( y = 3x^2 + bx \): \( y' = 6x + b \).
3. Приравняем производные: \( 6x + b = 6 \).
4. Теперь приравняем значения функций в точке касания \( x \): \( 3x^2 + bx = 6x - 3 \).
5. Из уравнения \( 6x + b = 6 \) выразим \( b = 6 - 6x \).
6. Подставим \( b \) во второе уравнение: \( 3x^2 + (6 - 6x)x = 6x - 3 \).
7. Раскроем скобки и упростим: \( 3x^2 + 6x - 6x^2 = 6x - 3 \).
8. \( -3x^2 = -3 \).
9. \( x^2 = 1 \).
10. Отсюда \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
11. По условию задачи, абсцисса точки касания больше 0, значит \( x = 1 \).
12. Найдем \( b \), подставив \( x = 1 \) в уравнение \( b = 6 - 6x \): \( b = 6 - 6 \cdot 1 = 0 \).

Ответ: b = 0.