Прямая y=4x-4 является касательной к графику функции y=x^2. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Чтобы прямая \( y = 4x - 4 \) была касательной к графику функции \( y = x^2 \), необходимо, чтобы в точке касания \( (x_0, y_0) \) выполнялись два условия:

1. Точка касания лежит на обеих кривых: \( y_0 = x_0^2 \) и \( y_0 = 4x_0 - 4 \).
2. Значение производной функции \( y = x^2 \) в точке касания равно угловому коэффициенту касательной (то есть коэффициенту при \( x \) в уравнении прямой).

Найдем производную функции \( y = x^2 \):

\( y' = (x^2)' = 2x \)

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой \( k = 4 \):

\( 2x_0 = 4 \)

Решим это уравнение относительно \( x_0 \):

\( x_0 = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь проверим, выполняется ли первое условие (что точка лежит на обеих кривых) при \( x_0 = 2 \).

Значение функции \( y = x^2 \) при \( x_0 = 2 \): \( y_0 = 2^2 = 4 \).

Значение прямой \( y = 4x - 4 \) при \( x_0 = 2 \): \( y_0 = 4(2) - 4 = 8 - 4 = 4 \).

Значения \( y_0 \) совпадают, значит, прямая \( y = 4x - 4 \) действительно является касательной к графику функции \( y = x^2 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \).

Ответ: 2