Прямая y = - 4x-11 является касательной к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Для того чтобы прямая \( y = -4x - 11 \) была касательной к графику функции \( y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6 \), должны выполняться два условия в точке касания \( x_0 \):

1. Значения функций равны: \( x_0^3 + 7x_0^2 + 7x_0 - 6 = -4x_0 - 11 \)
2. Производные функций равны (угловые коэффициенты касательной и производной функции совпадают): \( (x^3 + 7x^2 + 7x - 6)' = (-4x - 11)' \)

Найдем производную функции \( y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6 \):

\[ y' = 3x^2 + 14x + 7 \]

Найдем производную прямой \( y = -4x - 11 \):

\[ y' = -4 \]

Приравняем производные:

\[ 3x_0^2 + 14x_0 + 7 = -4 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ 3x_0^2 + 14x_0 + 7 + 4 = 0 \]

\[ 3x_0^2 + 14x_0 + 11 = 0 \]

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 196 - 132 = 64 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-14 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-14 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 8}{6} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3} \]

Теперь проверим, выполняется ли первое условие (равенство значений функций) для каждого из найденных значений \( x_0 \).

Случай 1: \( x_0 = -1 \)

Значение функции:

\[ y = (-1)^3 + 7(-1)^2 + 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 7 - 6 = -7 \]

Значение прямой:

\[ y = -4(-1) - 11 = 4 - 11 = -7 \]

Условие выполняется.

Случай 2: \( x_0 = -\frac{11}{3} \)

Значение функции:

\[ y = \left(-\frac{11}{3}\right)^3 + 7\left(-\frac{11}{3}\right)^2 + 7\left(-\frac{11}{3}\right) - 6 \]

\[ y = -\frac{1331}{27} + 7\frac{121}{9} - \frac{77}{3} - 6 = -\frac{1331}{27} + \frac{847}{9} - \frac{77}{3} - 6 \]

Приведем к общему знаменателю 27:

\[ y = \frac{-1331 + 847 \cdot 3 - 77 \cdot 9 - 6 \cdot 27}{27} = \frac{-1331 + 2541 - 693 - 162}{27} = \frac{347}{27} \]

Значение прямой:

\[ y = -4\left(-\frac{11}{3}\right) - 11 = \frac{44}{3} - 11 = \frac{44 - 33}{3} = \frac{11}{3} \]

Условие не выполняется, так как \( \frac{347}{27} \neq \frac{11}{3} \) ( \( \frac{11}{3} = \frac{99}{27} \) ).

Следовательно, абсцисса точки касания равна -1.

Ответ: -1