Прямая y = 2x + 2 является касательной к графику функции y=x²-4x+c. Найдите с.

Решение:

Для того чтобы прямая \( y = 2x + 2 \) была касательной к графику функции \( y = x^2 - 4x + c \), должны выполняться два условия:

1. Значения функций должны быть равны в точке касания: \( x^2 - 4x + c = 2x + 2 \)
2. Производные функций должны быть равны в точке касания: \( (x^2 - 4x + c)' = (2x + 2)' \)

Найдем производные:

• Производная функции \( y = x^2 - 4x + c \) равна \( y' = 2x - 4 \).
• Производная функции \( y = 2x + 2 \) равна \( y' = 2 \).

Приравниваем производные, чтобы найти абсциссу точки касания:

\[ 2x - 4 = 2 \]\[ 2x = 6 \]\[ x = 3 \]

Теперь подставим \( x = 3 \) в уравнение, где приравниваются значения функций:

\[ 3^2 - 4 \cdot 3 + c = 2 \cdot 3 + 2 \]\[ 9 - 12 + c = 6 + 2 \]\[ -3 + c = 8 \]\[ c = 8 + 3 \]\[ c = 11 \]

Проверка:

Если \( c = 11 \), то функции равны при \( x = 3 \): \( 3^2 - 4 \cdot 3 + 11 = 9 - 12 + 11 = 8 \) и \( 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8 \). Значения равны.

Производные также равны при \( x = 3 \): \( 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2 \) и \( 2 \). Значения производных равны.

Ответ: 11