Прямая y=2x+1 касается параболы y=x^2+ax+3. Найдите сумму всех возможных значений а.

Решение:

Прямая касается параболы, значит, они имеют одну общую точку. Для нахождения точки пересечения приравняем уравнения:

\( 2x + 1 = x^2 + ax + 3 \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( x^2 + ax - 2x + 3 - 1 = 0 \)

\( x^2 + (a - 2)x + 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Условие касания означает, что дискриминант этого уравнения равен нулю:

\( D = (a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 0 \)

\( (a - 2)^2 - 8 = 0 \)

\( (a - 2)^2 = 8 \)

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( a - 2 = \pm \sqrt{8} \)

\( a - 2 = \pm 2\sqrt{2} \)

Теперь найдём возможные значения \( a \):

\( a_1 = 2 + 2\sqrt{2} \)

\( a_2 = 2 - 2\sqrt{2} \)

Найдём сумму всех возможных значений \( a \):

\( a_1 + a_2 = (2 + 2\sqrt{2}) + (2 - 2\sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{2} = 4 \)

Ответ: 4