Прямая y=2x+1 касается параболы y=ax^2+3. Найдите сумму всех возможных значений a. Варианты ответа: 4, 0, 2, 8.

Точка касания имеет координату \(x_0\). Уравнение касательной к параболе \(y=ax^2+3\) в этой точке:

\[y=2ax_0x-ax_0^2+3.\]

Сравнивая коэффициенты с уравнением \(y=2x+1\), получаем:

\[2ax_0=2,\qquad -ax_0^2+3=1.\]

Из первого равенства \(ax_0=1\). Второе равенство даёт \(ax_0^2=2\). Делим второе равенство на первое:

\[x_0=2.\]

Тогда \(a=\frac{1}{x_0}=\frac12\). Следовательно, возможное значение \(a\) единственно, и сумма всех возможных значений равна \(\frac12\).

Ответ: \(\frac12\).