6 Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и № соответственно. Известно, что АВ=12, ВС-15, AC-21, CN=7, АК-2. Найдите длину отрезка К№.

Дано:

• Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках K и N.
• AB = 12.
• BC = 15.
• AC = 21.
• CN = 7.
• AK = 2.

Найти: KN.

Решение:

1. Найдем BK и BN.
   • BK = AB - AK = 12 - 2 = 10
   • BN = BC - CN = 15 - 7 = 8
2. Проверим, подобны ли треугольники ABC и KBN. $$\frac{BK}{BA} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$ $$\frac{BN}{BC} = \frac{8}{15}$$ Треугольники не подобны, т.к. \frac{BK}{BA} != \frac{BN}{BC}
3. По теореме косинусов найдем косинус угла B для треугольника ABC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(B)$$ $$21^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot cos(B)$$ $$441 = 144 + 225 - 360 \cdot cos(B)$$ $$441 = 369 - 360 \cdot cos(B)$$ $$360 \cdot cos(B) = 369 - 441 = -72$$ $$cos(B) = \frac{-72}{360} = -\frac{1}{5}$$
4. По теореме косинусов найдем KN: $$KN^2 = BK^2 + BN^2 - 2 \cdot BK \cdot BN \cdot cos(B)$$ $$KN^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{5})$$ $$KN^2 = 100 + 64 + 32 = 196$$ $$KN = \sqrt{196} = 14$$

Ответ: 14