23. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пе роны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, AC=56, NC=21.

Шаг 1: Определение подобия треугольников

Так как прямая MN параллельна стороне AC, треугольники ABC и MBN подобны (по двум углам).

Шаг 2: Запись отношения сторон

Запишем отношение соответствующих сторон подобных треугольников:

\[\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\]

Шаг 3: Выражение BC через BN и NC

Известно, что BC = BN + NC. Выразим BC:

\[BC = BN + NC\]

Подставим известные значения: NC = 21

\[BC = BN + 21\]

Шаг 4: Использование подобия для нахождения BN

Используем отношение сторон подобных треугольников:

\[\frac{BN}{BN + 21} = \frac{MN}{56}\]

Из условия не дано значение MN, но так как треугольники ABC и MBN подобны, значит \[ \frac{AC}{MN} = const \] , а также \[ \frac{BC}{BN} = const \]. Так как \[ \frac{AC}{MN} = \frac{BC}{BN} \], то мы можем записать равенство подобия:

\[ \frac{AC}{BC} = \frac{56}{BN + 21} \]

\[ \frac{AC}{BC} = \frac{NC}{BN} \] => \[\frac{56}{BN + 21} = \frac{21}{BN} \]

Шаг 5: Решение уравнения

Решим уравнение относительно BN:

\[56 \cdot BN = 21 \cdot (BN + 21)\]

\[56 \cdot BN = 21 \cdot BN + 21 \cdot 21\]

\[56 \cdot BN - 21 \cdot BN = 441\]

\[35 \cdot BN = 441\]

\[BN = \frac{441}{35} = \frac{63}{5} = 12.6\]