2. Прямая, параллельная основаниям трапеции АВСD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=42, ВС=14, CF:DF=4:3

Рассмотрим трапецию ABCD, где BC и AD - основания, EF - отрезок, параллельный основаниям, E лежит на AB, F лежит на CD. Известно, что AD = 42, BC = 14, CF:DF = 4:3. Найдем длину отрезка EF.

Пусть CF = 4x, тогда DF = 3x.

Проведем прямую через точку B параллельно CD до пересечения с AD в точке K. Тогда AK = AD - KD = AD - BC = 42 - 14 = 28.

Проведем прямую через точку E параллельно CD до пересечения с AD в точке L. Тогда EL || FK, следовательно, EFLK - параллелограмм, EK = FL.

Рассмотрим треугольник ABK. Пусть EK = y. Тогда EL = BC + y.

Поскольку EF || AD, треугольники ELK и ABK подобны.

Рассмотрим треугольник BCD. Проведем прямую FN параллельно BC до пересечения с AB в точке M.

По теореме о пропорциональных отрезках, ME/EA = CF/FD = 4/3. Следовательно, ME = (4/7) * AB.

Тогда AE/AB = 3/7. Пусть EK = z. Тогда EK/BK = AE/AB.

Поскольку EF || AD, имеем EL/AK = AE/AB, то есть (EF - BC) / (AD - BC) = AE/AB.

(EF - 14) / (42 - 14) = 3/7

(EF - 14) / 28 = 3/7

EF - 14 = (3/7) * 28

EF - 14 = 12

EF = 12 + 14 = 26

Ответ: 26