Контрольные задания > Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках К и N соответственно. Найдите длину отрезка КN, если AD = 45, BC = 15, CN = 12, ND = 18.
Вопрос:

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках К и N соответственно. Найдите длину отрезка КN, если AD = 45, BC = 15, CN = 12, ND = 18.

Ответ:

  1. Обозначим длину отрезка KN через x.
  2. Поскольку прямая KN параллельна основаниям трапеции, то треугольники CNK и CDB подобны, а также треугольники ANK и ADB подобны.
  3. Из подобия треугольников CNK и CDB следует пропорция: $$\frac{CN}{CD} = \frac{KN}{DB}$$.
  4. Из подобия треугольников ANK и ADB следует пропорция: $$\frac{AK}{AB} = \frac{KN}{DB}$$.
  5. Выразим CD как сумму CN и ND: $$CD = CN + ND = 12 + 18 = 30$$.
  6. Из пропорции $$\frac{CN}{CD} = \frac{KN}{DB}$$ выразим KN: $$\frac{12}{30} = \frac{x}{DB}$$.
  7. Из этой пропорции находим зависимость между x и DB: $$DB = \frac{30x}{12} = \frac{5x}{2}$$.
  8. Проведем прямую через точку C, параллельную стороне AB. Пусть она пересечет AD в точке E. Тогда AECD - параллелограмм, следовательно, AE = CD = 45, EC = AD = 15, ED = AD - AE = 45 - 15 = 30.
  9. Рассмотрим треугольник ECD. Пусть KN пересекает CE в точке M. Тогда CM \| AB. $$\frac{CN}{CD} = \frac{CM}{CE}$$, отсюда $$\frac{12}{30} = \frac{CM}{15}$$.
  10. Находим CM: $$CM = \frac{12 \cdot 15}{30} = 6$$.
  11. Тогда MK = KN - CM = x - 6.
  12. Рассмотрим треугольники MED и KND. Они подобны. $$\frac{KN}{AD} = \frac{CK}{BC}$$ $$\frac{x}{45} = \frac{12}{15}$$.
  13. Находим x: $$x = \frac{45 \cdot 12}{15} = 36$$.
  14. Длина отрезка KN равна 36.
Смотреть решения всех заданий с листа