1. Прямая М№ пересекает параллельные прямые АВ и CD в точках М и № соответственно. Сумма углов АМИ и СММ равна 136°. Укажите все верные утверждения. а) Точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой М№. 6) Точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой М№. в) Сумма углов AMN и DNM равна 180°. г) Угол ВМП равен 112°. 2. Один из внешних углов треугольника в 2 раза больше другого внешнего угла. Найдите эти внешние углы, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°. 3. Равносторонний треугольник перегнули так, что одна его вершина попала на противоположную сторону. Докажите, что 21 = 22.

Ответ: в) Сумма углов AMN и DNM равна 180°.

Задача 1:

• Прямая MN пересекает параллельные прямые AB и CD в точках M и N соответственно.
• Сумма углов AMN и CNM равна 136°.
• Нужно указать все верные утверждения.

Решение:

а) Точки A и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой MN.

б) Точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой MN.

в) Сумма углов AMN и DNM равна 180°.

г) Угол BMN равен 112°.

Угол AMN + CNM = 136°. Так как AB || CD, то углы AMN и CNM – внутренние односторонние, и их сумма должна быть 180°. Однако, по условию, их сумма 136°, значит, утверждение неверно.

Сумма углов AMN и DNM равна 180°, так как это внутренние односторонние углы при параллельных прямых AB и CD и секущей MN. Следовательно, утверждение в) верно.

Если угол AMN + CNM = 136°, то AMN = 180° - DNM.

Угол BMN = 180° - AMN.

Задача 2:

• Один из внешних углов треугольника в 2 раза больше другого внешнего угла.
• Найдите эти внешние углы, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Решение:

Пусть один внешний угол равен x, тогда другой внешний угол равен 2x.

Внутренний угол, не смежный с этими внешними углами, равен 45°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Сумма внешнего и внутреннего угла, смежных с ним, равна 180°.

Тогда внутренние углы, смежные с внешними углами x и 2x, равны (180° - x) и (180° - 2x) соответственно.

Сумма углов в треугольнике: 45° + (180° - x) + (180° - 2x) = 180°.

45° + 180° - x + 180° - 2x = 180°

3x = 225°

x = 75°

2x = 150°

Таким образом, внешние углы равны 75° и 150°.

Задача 3:

• Равносторонний треугольник перегнули так, что одна его вершина попала на противоположную сторону.
• Нужно доказать, что ∠1 = ∠2.

Для доказательства равенства углов ∠1 и ∠2 потребуется дополнительная информация о том, как именно был перегнут треугольник и как расположены углы ∠1 и ∠2 относительно линии сгиба. Без этой информации невозможно дать строгое доказательство.

Ответ: в) Сумма углов AMN и DNM равна 180°.