163. Прямая касается окружности с центром O в точке M. На касательной по разные стороны от точки M отметили точки K и P такие, что \(\angle MOK = \angle MOP\). Найдите угол \(\angle OKM\), если \(\angle OPM = 48^\circ\).

Дано: Окружность с центром в точке O, прямая касается окружности в точке M, K и P - точки на касательной, \(\angle MOK = \angle MOP\), \(\angle OPM = 48^\circ\). Найти: \(\angle OKM\). Решение: 1. Так как прямая касается окружности в точке M, то радиус OM перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, \(\angle OMP = 90^\circ\). 2. Рассмотрим треугольник \(\triangle OMP\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Поэтому, \(\angle MOP + \angle OMP + \angle OPM = 180^\circ\) \(\angle MOP + 90^\circ + 48^\circ = 180^\circ\) \(\angle MOP = 180^\circ - 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ\). 3. По условию, \(\angle MOK = \angle MOP\). Следовательно, \(\angle MOK = 42^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник \(\triangle OMK\). OM = OK как радиусы окружности. Следовательно, \(\triangle OMK\) - равнобедренный треугольник, и \(\angle OKM = \angle OMK\). 5. Сумма углов в треугольнике \(\triangle OMK\) равна 180 градусов. Поэтому, \(\angle MOK + \angle OKM + \angle OMK = 180^\circ\) \(42^\circ + \angle OKM + \angle OKM = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle OKM = 180^\circ - 42^\circ\) \(2 \cdot \angle OKM = 138^\circ\) \(\angle OKM = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ\). Ответ: \(\angle OKM = 69^\circ\).