Прямая касается обеих окружностей в точках А и В. С – точка касания двух окружностей. Найдите угол ВСА. Заполните пропуски в решении задачи. Задача считается выполненной верно, если все пропуски заполнены правильно.

Ответ: ∠ВСА = 90°

Решение:

1. Проведем через точку C (точка касания окружностей) касательную. Она пересечётся с внешней касательной AB в точке L.
2. BL и LC – касательные, проведённые из одной точки к окружности с центром O₁, BL = LC, по свойству касательных.
3. AL и LC – касательные, проведённые из одной точки к окружности с центром O₂, AL=LC, по свойству касательных.
4. Следовательно, BL=LC=AL.
5. Отрезок AB = 2 CL, значит CL = половине к стороне AB треугольника ABC.
6. По признаку прямоугольного треугольника через медиану, треугольник ABC является прямоугольным. А медиана CL опускается из вершины прямого угла.
7. Следовательно, ∠BCA = 90°.

Ответ: 90°