Прямая AB ⊥ α, K ∈ α. AB = 9, KB = 12. Найдите длину отрезка AK.

Решение:

По условию, прямая AB перпендикулярна плоскости α, а точка K принадлежит плоскости α. Это означает, что отрезок AB перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости α и проходящему через точку B. Следовательно, отрезок AB перпендикулярен отрезку BK.

Таким образом, треугольник ABK является прямоугольным, с прямым углом при вершине B.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABK:

\[ AK^2 = AB^2 + BK^2 \]\[ AK^2 = 9^2 + 12^2 \]\[ AK^2 = 81 + 144 \]\[ AK^2 = 225 \]\[ AK = \sqrt{225} \]\[ AK = 15 \]

Проверка:

Проверим, соответствует ли решение условию задачи.

Дано:

• Прямая AB ⊥ α
• K ∈ α
• AB = 9
• KB = 12

Найти:

• AK

Решение:

Треугольник ABK - прямоугольный (угол B = 90°).

По теореме Пифагора: \( AK = \sqrt{AB^2 + KB^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \).

Ответ: 15