Прямая 2х + 3y = с, где с — некоторое число, касается гиперболы y = 6/x в точке с отрицательными координатами. Найдите с.

Решение:

Условие касания прямой и гиперболы означает, что система уравнений имеет единственное решение. Подставим выражение для \( y \) из уравнения гиперболы в уравнение прямой:

\[ 2x + 3 \left( \frac{6}{x} \right) = c \]\[ 2x + \frac{18}{x} = c \]\[ 2x^2 + 18 = cx \]\[ 2x^2 - cx + 18 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Для того чтобы оно имело единственное решение, его дискриминант должен быть равен нулю.

\[ D = (-c)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 0 \]\[ c^2 - 144 = 0 \]\[ c^2 = 144 \]\[ c = \pm 12 \]

В условии сказано, что точка касания имеет отрицательные координаты. Найдём эти координаты, подставив найденные значения \( c \) в квадратное уравнение.

Если \( c = 12 \):

\( 2x^2 - 12x + 18 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 - 6x + 9 = 0 \)

\( (x - 3)^2 = 0 \)

\( x = 3 \)

Тогда \( y = \frac{6}{x} = \frac{6}{3} = 2 \). Координаты \( (3, 2) \) — положительные. Этот случай нам не подходит.

Если \( c = -12 \):

\( 2x^2 - (-12)x + 18 = 0 \)

\( 2x^2 + 12x + 18 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 + 6x + 9 = 0 \)

\( (x + 3)^2 = 0 \)

\( x = -3 \)

Тогда \( y = \frac{6}{x} = \frac{6}{-3} = -2 \). Координаты \( (-3, -2) \) — отрицательные. Этот случай соответствует условию задачи.

Следовательно, значение \( c \) равно -12.

Ответ: -12.