Контрольные задания
Вопрос:

Провести полное исследование функции y = 4x / (4 + x^2) и построить её график.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Исследование функции:

  1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как знаменатель \( 4+x^2 \) не равен нулю ни при каком \( x \). \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  2. Четность/Нечетность: \( y(-x) = \frac{4(-x)}{4+(-x)^2} = \frac{-4x}{4+x^2} = -y(x) \). Функция является нечетной.
  3. Точки пересечения с осями:
    • С осью OY: При \( x=0 \), \( y = \frac{4 \cdot 0}{4+0^2} = 0 \). Точка (0, 0).
    • С осью OX: \( \frac{4x}{4+x^2} = 0 \) \( \implies 4x = 0 \) \( \implies x = 0 \). Точка (0, 0).
  4. Асимптоты: Вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты \( y = kx+b \). \( k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x(4+x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{4+x^2} = 0 \). \( b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{4+x^2} = 0 \). Горизонтальная асимптота \( y=0 \).
  5. Производная и экстремумы:
    • Найдем первую производную: \( y' = \left(\frac{4x}{4+x^2}\right)' = \frac{4(4+x^2) - 4x(2x)}{(4+x^2)^2} = \frac{16+4x^2-8x^2}{(4+x^2)^2} = \frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2} \).
    • Приравняем производную к нулю: \( \frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2} = 0 \) \( \implies 16-4x^2 = 0 \) \( \implies 4x^2 = 16 \) \( \implies x^2 = 4 \) \( \implies x = \pm 2 \).
    • Определим знаки производной:
      • При \( x < -2 \) (например, \( x=-3 \)): \( y' = \frac{16-4(-3)^2}{(4+(-3)^2)^2} = \frac{16-36}{(4+9)^2} < 0 \). Функция убывает.
      • При \( -2 < x < 2 \) (например, \( x=0 \)): \( y' = \frac{16-4(0)^2}{(4+0^2)^2} = \frac{16}{16} > 0 \). Функция возрастает.
      • При \( x > 2 \) (например, \( x=3 \)): \( y' = \frac{16-4(3)^2}{(4+3^2)^2} = \frac{16-36}{(4+9)^2} < 0 \). Функция убывает.
    • Экстремумы:
      • В точке \( x=-2 \) — локальный минимум. \( y(-2) = \frac{4(-2)}{4+(-2)^2} = \frac{-8}{4+4} = \frac{-8}{8} = -1 \). Точка минимума (-2, -1).
      • В точке \( x=2 \) — локальный максимум. \( y(2) = \frac{4(2)}{4+2^2} = \frac{8}{4+4} = \frac{8}{8} = 1 \). Точка максимума (2, 1).
  6. Вторая производная и точки перегиба:
    • Найдем вторую производную: \( y'' = \left(\frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2}\right)' = \frac{-8x(4+x^2)^2 - (16-4x^2) 2(4+x^2)(2x)}{(4+x^2)^4} = \frac{-8x(4+x^2) - 4x(16-4x^2)}{(4+x^2)^3} \)
    • \( y'' = \frac{-32x - 8x^3 - 64x + 16x^3}{(4+x^2)^3} = \frac{8x^3 - 96x}{(4+x^2)^3} = \frac{8x(x^2-12)}{(4+x^2)^3} \).
    • Приравняем вторую производную к нулю: \( \frac{8x(x^2-12)}{(4+x^2)^3} = 0 \) \( \implies 8x(x^2-12) = 0 \) \( \implies x=0 \) или \( x^2=12 \) \( \implies x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \).
    • Определим знаки второй производной:
      • При \( x < -2\sqrt{3} \): \( y'' < 0 \) (выпуклость вверх).
      • При \( -2\sqrt{3} < x < 0 \): \( y'' > 0 \) (выпуклость вниз).
      • При \( 0 < x < 2\sqrt{3} \): \( y'' < 0 \) (выпуклость вверх).
      • При \( x > 2\sqrt{3} \): \( y'' > 0 \) (выпуклость вниз).
    • Точки перегиба:
      • При \( x=0 \): \( y(0) = 0 \). Точка (0,0).
      • При \( x=2\sqrt{3} \): \( y(2\sqrt{3}) = \frac{4(2\sqrt{3})}{4+(2\sqrt{3})^2} = \frac{8\sqrt{3}}{4+12} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Точка \( (2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \).
      • При \( x=-2\sqrt{3} \): \( y(-2\sqrt{3}) = \frac{4(-2\sqrt{3})}{4+(-2\sqrt{3})^2} = \frac{-8\sqrt{3}}{4+12} = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Точка \( (-2\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \).

График функции:

Ответ: Исследование проведено, график построен.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание