Проверьте, является ли число х = –6 корнем следующих уравнений: a) x³ + 5x² - 12x – 36 = 0 (7 баллов); б) (3x - 18) / (x² - 12x + 36) = 1 / (x - 6) (7 баллов); в) x + 6 + sqrt(x² - 36) = 0 (7 баллов).

Решение:

Проверим, является ли число \( x = -6 \) корнем каждого из уравнений.

а) \( x^3 + 5x^2 - 12x - 36 = 0 \)

1. Подставим \( x = -6 \) в уравнение:


2. \( (-6)^3 + 5(-6)^2 - 12(-6) - 36 \)


3. \( = -216 + 5(36) + 72 - 36 \)


4. \( = -216 + 180 + 72 - 36 \)


5. \( = -216 + 252 - 36 \)


6. \( = 36 - 36 = 0 \)

Так как \( 0 = 0 \), число \( x = -6 \) является корнем данного уравнения.

б) \( \frac{3x - 18}{x^2 - 12x + 36} = \frac{1}{x - 6} \)

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:


2. \( x^2 - 12x + 36 \neq 0 \) → \( (x - 6)^2 \neq 0 \) → \( x \neq 6 \)


3. \( x - 6 \neq 0 \) → \( x \neq 6 \)


4. ОДЗ: \( x \neq 6 \).


5. Подставим \( x = -6 \) в уравнение:


6. Левая часть: \( \frac{3(-6) - 18}{(-6)^2 - 12(-6) + 36} = \frac{-18 - 18}{36 + 72 + 36} = \frac{-36}{144} = -\frac{1}{4} \)


7. Правая часть: \( \frac{1}{-6 - 6} = \frac{1}{-12} = -\frac{1}{12} \)

Так как \( -\frac{1}{4} \neq -\frac{1}{12} \), число \( x = -6 \) не является корнем данного уравнения.

в) \( x + 6 + \sqrt{x^2 - 36} = 0 \)

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:


2. \( x^2 - 36 \ge 0 \) → \( (x - 6)(x + 6) \ge 0 \)


3. Это неравенство выполняется при \( x \le -6 \) или \( x \ge 6 \).


4. Подставим \( x = -6 \) в уравнение:


5. \( -6 + 6 + \sqrt{(-6)^2 - 36} \)


6. \( = 0 + \sqrt{36 - 36} \)


7. \( = \sqrt{0} = 0 \)

Так как \( 0 = 0 \) и \( x = -6 \) входит в ОДЗ, число \( x = -6 \) является корнем данного уравнения.

Ответ: а) является; б) не является; в) является.