5.476 Проверьте равенства: и т. д. Используя эти равенства, докажите:

Ответ: \[\frac{2}{15}\]

Разбираемся:

Необходимо доказать, что сумма \[\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{7} + \frac{1}{7}\cdot\frac{1}{9} + \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{11} + \frac{1}{11}\cdot\frac{1}{13} + \frac{1}{13}\cdot\frac{1}{15}\] равна \(\frac{2}{15}\).

Заметим, что каждое слагаемое в сумме можно представить в виде разности двух дробей, используя равенства из условия задачи, например:

Применим это свойство ко всем слагаемым:

\[\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{13} - \frac{1}{15})\]

Вынесем \(\frac{1}{2}\) за скобки:

\[\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15})\]

В скобках большинство дробей взаимно уничтожаются, остается только первая и последняя:

\[\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3} - \frac{1}{15})\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{1}{2}\cdot(\frac{5}{15} - \frac{1}{15}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{15} = \frac{2}{15}\]

Ответ: \[\frac{2}{15}\]

Цифровой атлет врывается в чат!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей