ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА по теме «МНОГОГРАННИКИ» ВАРИАНТ - 5 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8√2 дм, высота пирамиды — 15 дм. Вычислите длину бокового ребра.

Решение:

Для вычисления бокового ребра \( b \) правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Сначала найдём апофему \( l \) пирамиды, а затем боковое ребро.

Сторона основания \( a = 8\sqrt{2} \) дм.

Высота пирамиды \( h = 15 \) дм.

Апофема \( l \) — это высота боковой грани. Для нахождения апофемы нам нужно знать расстояние от центра основания до середины стороны основания. Это расстояние равно половине стороны основания: \( r = \frac{a}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) дм.

Теперь найдём апофему \( l \) по теореме Пифагора, используя высоту \( h \) и расстояние \( r \):

\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{15^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 + 16 \cdot 2} = \sqrt{225 + 32} = \sqrt{257} \] дм.

Теперь вычислим боковое ребро \( b \). Для этого нам понадобится расстояние от центра основания до вершины основания. Это расстояние равно половине диагонали основания. Диагональ основания \( d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16 \) дм. Расстояние от центра до вершины основания равно \( R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) дм.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой \( h \), расстоянием \( R \) и боковым ребром \( b \):

\[ b = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \] дм.

Ответ: Длина бокового ребра пирамиды равна 17 дм.