Проверь себя! 1 Вычислить sin a, tg a, cos 2a, если cos a = - 4 ил 5 2 < α < π. 2 Найти значение выражения: 1) cos 135°; 2) sin 8π; 3 3) tg 7π; 3 4) cos2sin2 π 8 8 3 Доказать тождество: 1) 3 cos 2x + sin² a - cos² a = 2 cos 2a; 2) sin 5a - sin 3a 2 cos 4a = sin a. 4 Упростить выражение: 1) sin (α - β) – sin asin sin (-ẞ); 2 2) cos² (π-α) - cos²(-α); 2 3) 2 sin a sin β + cos (α + β). 557 Упростить выражение cos B sin a sin ẞ + cos a 1- cos 40 cos (π-β + α) Доказать тождество (558-559). sin (2α - 3π) + 2 cos + 2α 6 ) √3 ctg 2α; 5581) 2cos(-20) + √3 cos (20-3π) π sin(2.5π – 2α) = 6 =

Задание 1: Вычислить sin a, tg a, cos 2a, если cos a = -4/5 и π/2 < α < π.

Решение:

Т.к. π/2 < α < π, то угол α находится во второй четверти, где синус положителен, а тангенс отрицателен.

Шаг 1: Находим sin α

\[sin^2 α + cos^2 α = 1\]

\[sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (-4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25\]

\[sin α = \sqrt{9/25} = 3/5\] (берем положительное значение, т.к. α во второй четверти)

Шаг 2: Находим tg α

\[tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{3/5}{-4/5} = -3/4\]

Шаг 3: Находим cos 2α

\[cos 2α = cos^2 α - sin^2 α = (-4/5)^2 - (3/5)^2 = 16/25 - 9/25 = 7/25\]

Ответ: sin α = 3/5, tg α = -3/4, cos 2α = 7/25

Задание 2: Найти значение выражения:

1) cos 135°; 2) sin 8π/3; 3) tg 7π/3; 4) cos²(π/8) - sin²(π/8)

Решение:

1) cos 135° = cos (180° - 45°) = -cos 45° = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

2) sin \(\frac{8π}{3}\) = sin \(2π + \frac{2π}{3}\) = sin \(\frac{2π}{3}\) = sin (π - \(\frac{π}{3}\)) = sin \(\frac{π}{3}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

3) tg \(\frac{7π}{3}\) = tg \(2π + \frac{π}{3}\) = tg \(\frac{π}{3}\) = \(\sqrt{3}\)

4) cos²(\(\frac{π}{8}\)) - sin²(\(\frac{π}{8}\)) = cos(\(\frac{π}{4}\)) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (использовали формулу cos 2x = cos²x - sin²x)

Ответ: 1) -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), 2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 3) \(\sqrt{3}\), 4) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Задание 3: Доказать тождество:

1) 3 cos 2α + sin² α - cos² α = 2 cos 2α

Решение:

Преобразуем левую часть:

3 cos 2α + sin² α - cos² α = 3 cos 2α - (cos² α - sin² α) = 3 cos 2α - cos 2α = 2 cos 2α

Левая часть равна правой, тождество доказано.

2) \(\frac{sin 5α - sin 3α}{2 cos 4α}\) = sin α

Решение:

Преобразуем числитель, используя формулу разности синусов:

sin 5α - sin 3α = 2 cos \(\frac{5α + 3α}{2}\) sin \(\frac{5α - 3α}{2}\) = 2 cos 4α sin α

Тогда: \(\frac{2 cos 4α sin α}{2 cos 4α}\) = sin α

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Задание 4: Упростить выражение:

1) sin (α - β) – sin (\(\frac{π}{2}\) - α) ⋅ sin (-β)

Решение:

sin (α - β) – sin (\(\frac{π}{2}\) - α) ⋅ sin (-β) = sin (α - β) + cos α ⋅ sin β = sin α cos β - cos α sin β + cos α sin β = sin α cos β

Ответ: sin α cos β

2) cos² (\(\frac{π}{2}\) - α) - cos² (\(\frac{π}{2}\) + α)

Решение:

cos² (\(\frac{π}{2}\) - α) - cos² (\(\frac{π}{2}\) + α) = sin² α - sin² (-α) = sin² α - sin² α = 0

Ответ: 0

3) 2 sin α sin β + cos (α + β)

Решение:

2 sin α sin β + cos (α + β) = 2 sin α sin β + cos α cos β - sin α sin β = cos α cos β + sin α sin β = cos (α - β)

Ответ: cos (α - β)

Задание 557: Упростить выражение \(\frac{\frac{cos β}{sin α} + \frac{sin β}{cos α}}{\frac{1- cos 4α}{cos (π-β + α)}}\)

Решение:

Преобразуем числитель:

\(\frac{cos β}{sin α} + \frac{sin β}{cos α} = \frac{cos β cos α + sin β sin α}{sin α cos α} = \frac{cos(α - β)}{sin α cos α}\)

Преобразуем знаменатель:

\(\frac{1 - cos 4α}{cos (π - β + α)} = \frac{2 sin^2 2α}{-cos (α - β)} = -\frac{2 (2 sin α cos α)^2}{cos (α - β)} = -\frac{8 sin^2 α cos^2 α}{cos (α - β)}\)

Тогда выражение равно:

\(\frac{\frac{cos(α - β)}{sin α cos α}}{-\frac{8 sin^2 α cos^2 α}{cos (α - β)}} = -\frac{cos^2 (α - β)}{8 sin^3 α cos^3 α}\)

Ответ: \(-\frac{cos^2 (α - β)}{8 sin^3 α cos^3 α}\)

Задание 558: Доказать тождество sin (2α - 3π) + 2 cos (\(\frac{7π}{6}\) + 2α) = -\(\sqrt{3}\) ctg 2α;

Решение:

Преобразуем левую часть:

sin (2α - 3π) + 2 cos (\(\frac{7π}{6}\) + 2α) = -sin (2α - π) + 2 cos (\(\frac{7π}{6}\) + 2α) = sin 2α + 2 (cos \(\frac{7π}{6}\) cos 2α - sin \(\frac{7π}{6}\) sin 2α) = sin 2α + 2(-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos 2α + \(\frac{1}{2}\) sin 2α) = sin 2α - \(\sqrt{3}\) cos 2α + sin 2α = 2 sin 2α - \(\sqrt{3}\) cos 2α

Правая часть: -\(\sqrt{3}\) ctg 2α = -\(\sqrt{3}\) \(\frac{cos 2α}{sin 2α}\)

Тождество не доказано.

2 cos (\(\frac{π}{6}\) - 2α) + \(\sqrt{3}\) cos (2α - 3π)

2 cos (\(\frac{π}{6}\) - 2α) + \(\sqrt{3}\) cos (2α - 3π) = 2 cos (\(\frac{π}{6}\) - 2α) - \(\sqrt{3}\) cos (2α - π) = 2 cos (\(\frac{π}{6}\) - 2α) + \(\sqrt{3}\) cos 2α = 2 (cos \(\frac{π}{6}\) cos 2α + sin \(\frac{π}{6}\) sin 2α) + \(\sqrt{3}\) cos 2α = 2 (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos 2α + \(\frac{1}{2}\) sin 2α) + \(\sqrt{3}\) cos 2α = \(\sqrt{3}\) cos 2α + sin 2α + \(\sqrt{3}\) cos 2α = 2 \(\sqrt{3}\) cos 2α + sin 2α