Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаПромежуточная аттестация по алгебре за курс 8 класса. Вариант 1
Ответ:
Часть 1.
- Расположите в порядке возрастания числа: \( m = \sqrt{15} \), \( n = \sqrt{3} \), \( p = 4,1 \).
Решение:
Возведём числа в квадрат, чтобы сравнить их:
- \( m^2 = (\sqrt{15})^2 = 15 \)
- \( n^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \)
- \( p^2 = (4,1)^2 = 16,81 \)
Сравнивая квадраты чисел: \( 3 < 15 < 16,81 \). Следовательно, \( n < m < p \).
Ответ: \( \sqrt{3} < \sqrt{15} < 4,1 \).
- Упростите выражение: \( (3c-2)^2+24c \).
Решение:
Раскроем скобки по формуле квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
\( (3c-2)^2+24c = (3c)^2 - 2 \cdot 3c \cdot 2 + 2^2 + 24c = 9c^2 - 12c + 4 + 24c = 9c^2 + 12c + 4 \).
Ответ: \( 9c^2 + 12c + 4 \).
- Упростите выражение: \( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{30} - 5\sqrt{2}} \).
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателю \( \sqrt{30} + 5\sqrt{2} \):
\[ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{30} - 5\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{30} + 5\sqrt{2}}{\sqrt{30} + 5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}(\sqrt{30} + 5\sqrt{2})}{(\sqrt{30})^2 - (5\sqrt{2})^2} \]
\[ = \frac{\sqrt{15 \cdot 30} + 5\sqrt{15 \cdot 2}}{30 - 25 \cdot 2} = \frac{\sqrt{450} + 5\sqrt{30}}{30 - 50} = \frac{\sqrt{225 \cdot 2} + 5\sqrt{30}}{-20} \]
\[ = \frac{15\sqrt{2} + 5\sqrt{30}}{-20} = \frac{5(3\sqrt{2} + \sqrt{30})}{-20} = -\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{30}}{4} \]
Ответ: \( -\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{30}}{4} \).
- Упростите выражение: \( (a^5)^4 \cdot a^{22} \).
Решение:
Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
\[ (a^5)^4 \cdot a^{22} = a^{5 \cdot 4} \cdot a^{22} = a^{20} \cdot a^{22} = a^{20+22} = a^{42} \]
Ответ: \( a^{42} \).
- Упростите выражение: \( \frac{x^2 + xy}{x^2 - y^2} \).
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на множители:
- Числитель: \( x^2 + xy = x(x+y) \)
- Знаменатель: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \)
Теперь сократим дробь:
\[ \frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x}{x-y} \]
Ответ: \( \frac{x}{x-y} \).
- Решите неравенство: \( 3x-1 \ge 5(x-2)+11 \).
Решение:
Раскроем скобки и приведём подобные члены:
\[ 3x-1 \ge 5x - 10 + 11 \]
\[ 3x-1 \ge 5x + 1 \]
Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:
\[ 3x - 5x \ge 1 + 1 \]
\[ -2x \ge 2 \]
Разделим обе части на \( -2 \) и изменим знак неравенства:
\[ x \le \frac{2}{-2} \]
\[ x \le -1 \]
Ответ: \( x \le -1 \).
- На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 220 миллиметров ртутного столба?
Решение:
На графике найдём значение давления \( 220 \) мм рт. ст. на оси ординат. Затем проведём горизонтальную линию до пересечения с кривой зависимости. Из точки пересечения опустим перпендикуляр на ось абсцисс (высота). По графику видно, что давлению \( 220 \) мм рт. ст. соответствует высота примерно \( 9 \) км.
Ответ: \( 9 \) км.
- Решить квадратное уравнение: \( 2x^2+3x-5=0 \).
Решение:
Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=-5 \):
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \]
Найдём корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
\[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5 \]
Ответ: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -2,5 \).
Часть 2.
- Выполните вычитание дробей: \( \frac{14a + 25a^2}{4 - 25a^2} - \frac{5a}{2 - 5a} \).
Решение:
Приведём знаменатель \( 4 - 25a^2 \) к виду \( (2 - 5a)(2 + 5a) \) (разность квадратов).
Знаменатель второй дроби \( 2 - 5a \) умножим на \( 2 + 5a \), чтобы получить общий знаменатель.
\[ \frac{14a + 25a^2}{4 - 25a^2} - \frac{5a(2 + 5a)}{(2 - 5a)(2 + 5a)} \]
\[ = \frac{14a + 25a^2 - (10a + 25a^2)}{4 - 25a^2} \]
\[ = \frac{14a + 25a^2 - 10a - 25a^2}{4 - 25a^2} = \frac{4a}{4 - 25a^2} \]
Ответ: \( \frac{4a}{4 - 25a^2} \).
- Катер, развивающий в стоячей воде 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
Решение:
Пусть \( x \) км/ч — скорость течения реки.
Скорость катера против течения: \( 20 - x \) км/ч.
Скорость катера по течению: \( 20 + x \) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения: \( \frac{36}{20 - x} \) ч.
Время, затраченное на путь по течению: \( \frac{22}{20 + x} \) ч.
Общее время в пути: 3 ч.
Составим уравнение:
\[ \frac{36}{20 - x} + \frac{22}{20 + x} = 3 \]
Умножим обе части уравнения на \( (20 - x)(20 + x) \), чтобы избавиться от знаменателей:
\[ 36(20 + x) + 22(20 - x) = 3(20 - x)(20 + x) \]
\[ 720 + 36x + 440 - 22x = 3(400 - x^2) \]
\[ 1160 + 14x = 1200 - 3x^2 \]
Перенесём все члены в левую часть:
\[ 3x^2 + 14x + 1160 - 1200 = 0 \]
\[ 3x^2 + 14x - 40 = 0 \]
Найдём дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 \]
\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \).
Найдём корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-14 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-14 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} \]
Так как скорость течения не может быть отрицательной, то \( x = 2 \) км/ч.
Ответ: \( 2 \) км/ч.
