Производная функции y = √x³ + 5x² - 3 в точке x₀ = 1 равна ...

Решение:

Чтобы найти производную функции \( y = \sqrt{x^3} + 5x^2 - 3 \) в точке \( x_0 = 1 \), сначала найдём производную функции \( y \).

1. Перепишем функцию, используя степень: \( y = (x^3)^{1/2} + 5x^2 - 3 = x^{3/2} + 5x^2 - 3 \).
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и правило дифференцирования суммы/разности: \( y' = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + 5 \cdot 2x^{2-1} - 0 \)
3. Упростим выражение для производной: \( y' = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 10x = \frac{3}{2} \sqrt{x} + 10x \).
4. Теперь подставим \( x_0 = 1 \) в выражение для производной: \( y'(1) = \frac{3}{2} \sqrt{1} + 10 \cdot 1 = \frac{3}{2} \cdot 1 + 10 = \frac{3}{2} + 10 \).
5. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{3}{2} + \frac{20}{2} = \frac{23}{2} \).

Ответ: 23/2.