Производная функции f(x) задана графиком y = f'(x) на отрезке [-4; 4]: Выберите все верные утверждения:

Решение:

Для определения свойств функции \( f(x) \) по графику её производной \( f'(x) \), нужно проанализировать знак и поведение \( f'(x) \).

• Возрастание/убывание \( f(x) \): \( f(x) \) возрастает, когда \( f'(x) > 0 \) (график \( f'(x) \) выше оси Ox), и убывает, когда \( f'(x) < 0 \) (график \( f'(x) \) ниже оси Ox).
• Экстремумы \( f(x) \): локальные минимумы \( f(x) \) возникают, когда \( f'(x) \) меняет знак с минуса на плюс, а локальные максимумы — когда \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или \( f'(x) \) не существует, являются кандидатами на экстремумы.

Анализ утверждений:

1. Функция \( f(x) \) на интервале \( (-2; -1) \) возрастает.
   На интервале \( (-2; -1) \) график \( f'(x) \) находится выше оси Ox (значения \( f'(x) \) положительны). Следовательно, \( f(x) \) возрастает. Верно.
2. На интервале \( (-4; -3) \) функция \( f(x) \) имеет локальный минимум.
   На интервале \( (-4; -3) \) график \( f'(x) \) находится выше оси Ox (положительные значения). Функция \( f(x) \) возрастает, экстремумов нет. Неверно.
3. На интервале \( (-1; 1) \) функция \( f(x) \) имеет локальный максимум.
   На интервале \( (-1; 0) \) \( f'(x) < 0 \) (убывает). На интервале \( (0; 1) \) \( f'(x) > 0 \) (возрастает). В точке \( x = 0 \) происходит смена знака \( f'(x) \) с минуса на плюс, что соответствует локальному минимуму \( f(x) \), а не максимуму. Неверно.
4. На интервале \( (-3; -1) \) функция \( f(x) \) имеет экстремум.
   На интервале \( (-3; -1) \) \( f'(x) > 0 \). Функция \( f(x) \) возрастает. Экстремумы возникают при смене знака \( f'(x) \). Таких точек на этом интервале нет. Неверно.
5. Функция \( f(x) \) на интервале \( (-1; 0) \) монотонно убывает.
   На интервале \( (-1; 0) \) график \( f'(x) \) находится ниже оси Ox (значения \( f'(x) \) отрицательны). Следовательно, \( f(x) \) монотонно убывает. Верно.
6. Функция \( f(x) \) на интервале \( (-4; -2) \) монотонно возрастает.
   На интервале \( (-4; -2) \) график \( f'(x) \) находится выше оси Ox (значения \( f'(x) \) положительны). Следовательно, \( f(x) \) монотонно возрастает. Верно.
7. Функция \( f(x) \) на области определения имеет ровно 3 экстремума.
   Точки, где \( f'(x) \) меняет знак: \( x ≈ -3 \) (с плюса на минус, максимум), \( x = 0 \) (с минуса на плюс, минимум), \( x = 2 \) (с плюса на минус, максимум). Всего 3 экстремума. Верно.
8. Функция \( f(x) \) на интервале \( (1; 1.5) \) монотонно убывает.
   На интервале \( (1; 1.5) \) график \( f'(x) \) находится ниже оси Ox (значения \( f'(x) \) отрицательны). Следовательно, \( f(x) \) монотонно убывает. Верно.

Ответ: Функция f(x) на интервале (-2;-1) возрастает; Функция f(x) на интервале (-1;0) монотонно убывает; Функция f(x) на интервале (-4;-2) монотонно возрастает; Функция f(x) на области определения имеет ровно 3 экстремума; Функция f(x) на интервале (1; 1.5) монотонно убывает.