Произведение двух последовательных натуральных чисел на 131 больше их суммы. Найдите меньшее из этих чисел.

Решение:

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно \(x\). Тогда следующее число равно \(x+1\).

Произведение этих чисел равно \(x(x+1)\).

Сумма этих чисел равна \(x + (x+1) = 2x+1\).

По условию задачи, произведение на 131 больше суммы:

\(x(x+1) = (2x+1) + 131\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + x = 2x + 132\)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(x^2 + x - 2x - 132 = 0\)

\(x^2 - x - 132 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\(D = (-1)^2 - 4(1)(-132) = 1 + 528 = 529\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23\)

Найдём корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11\)

Так как по условию числа натуральные, то \(x\) должно быть натуральным числом. Следовательно, \(x=12\).

Меньшее число равно 12.

Проверка:

Числа: 12 и 13.

Произведение: \(12 \times 13 = 156\).

Сумма: \(12 + 13 = 25\).

Разница: \(156 - 25 = 131\). Условие выполнено.

Ответ: 12