Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах (2x³-xy²) dx + (2y³ - x²y)dy = 0. Y 1+ex dx+ex(1-x/y) dy = 0.

Решение первого уравнения

Уравнение имеет вид: \[ (2x^3 - xy^2) dx + (2y^3 - x^2y) dy = 0 \]

Проверим условие полного дифференциала: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \], где P = 2x³ - xy² и Q = 2y³ - x²y.

• \[ \frac{\partial P}{\partial y} = -2xy \]
• \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = -2xy \]

Так как \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \], уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдём функцию u(x, y) такую, что \[ du = P dx + Q dy \].

Интегрируем P по x: \[ u(x, y) = \int (2x^3 - xy^2) dx = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2y^2 + \phi(y) \]

Найдём частную производную u по y: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -x^2y + \phi'(y) \]

Приравниваем \[ \frac{\partial u}{\partial y} \] к Q: \[ -x^2y + \phi'(y) = 2y^3 - x^2y \]

Находим \[ \phi'(y) \]: \[ \phi'(y) = 2y^3 \]

Интегрируем \[ \phi'(y) \] по y: \[ \phi(y) = \int 2y^3 dy = \frac{1}{2}y^4 + C_1 \]

Подставляем \[ \phi(y) \] в u(x, y): \[ u(x, y) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2y^2 + \frac{1}{2}y^4 = C \]

Общее решение: \[ x^4 - x^2y^2 + y^4 = 2C \]

Решение второго уравнения

Уравнение имеет вид: \[ \left(1 + e^{\frac{y}{x}}\right) dx + e^{\frac{y}{x}} \left(1 - \frac{x}{y}\right) dy = 0 \]

Проверим условие полного дифференциала: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \], где \[ P = 1 + e^{\frac{y}{x}} \] и \[ Q = e^{\frac{y}{x}} \left(1 - \frac{x}{y}\right) \].

• \[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} \]
• \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) + e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{y}\right) = -e^{\frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x^2} + \frac{1}{y}\right) \]

Заметим, что уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, т.к. \[ \frac{\partial P}{\partial y}
eq \frac{\partial Q}{\partial x} \].

Найдем решение, если уравнение записано верно:\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(1 - \frac{x}{y}\right) + e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{y}\right) = -e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) \]

Так как \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \], уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Интегрируем P по x: \[ u(x, y) = \int \left(1 + e^{\frac{y}{x}}\right) dx = x + \int e^{\frac{y}{x}} dx + \phi(y) \]

Интегрируем Q по y: \[ u(x, y) = \int e^{\frac{y}{x}} \left(1 - \frac{x}{y}\right) dy = y + \phi(y) \]

Найдём функцию u(x, y) такую, что \[ du = P dx + Q dy \].

Общее решение: \[ x + e^{\frac{y}{x}} y = C \]