Проходят ли прямые, являющиеся графиками уравнений 6x + 5y = 11, 7x - 2y = 8 и 2y - 7x = 6, через одну и ту же точку?

Решение:

Для решения задачи найдём точку пересечения первых двух прямых, а затем проверим, лежит ли эта точка на третьей прямой.

1. Найдём точку пересечения прямых:

\( 6x + 5y = 11 \) (1)

\( 7x - 2y = 8 \) (2)

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы избавиться от \( y \):

\( 2(6x + 5y) = 2(11) \) → \( 12x + 10y = 22 \) (3)

\( 5(7x - 2y) = 5(8) \) → \( 35x - 10y = 40 \) (4)

Сложим уравнения (3) и (4):

\( (12x + 10y) + (35x - 10y) = 22 + 40 \)

\( 47x = 62 \) → \( x = \frac{62}{47} \)

Подставим \( x = \frac{62}{47} \) в уравнение (1):

\( 6(\frac{62}{47}) + 5y = 11 \)

\( \frac{372}{47} + 5y = 11 \)

\( 5y = 11 - \frac{372}{47} \)

\( 5y = \frac{11 \cdot 47 - 372}{47} \) → \( 5y = \frac{517 - 372}{47} \) → \( 5y = \frac{145}{47} \)

\( y = \frac{145}{47 \cdot 5} \) → \( y = \frac{29}{47} \)

Точка пересечения первых двух прямых: \( (\frac{62}{47}, \frac{29}{47}) \).

2. Проверим, лежит ли точка на третьей прямой:

Третье уравнение: \( 2y - 7x = 6 \)

Подставим координаты точки \( (\frac{62}{47}, \frac{29}{47}) \) в уравнение:

\( 2(\frac{29}{47}) - 7(\frac{62}{47}) \) = \( \frac{58}{47} - \frac{434}{47} \) = \( \frac{58 - 434}{47} \) = \( \frac{-376}{47} \)

\( -376 \div 47 = -8 \).

Получили \( -8 \), что не равно \( 6 \).

Следовательно, точка пересечения первых двух прямых не лежит на третьей прямой.

Ответ: Нет, прямые не проходят через одну и ту же точку.