Прогулочный катер катал туристов 2 часа. За это время он проплыл 15 км по течению реки и 9 км против течения. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки составляет 3 км/ч?

Ответ: 9 км/ч

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим скорость катера по течению реки:
  \[v_{по течению} = \frac{S_{по течению}}{t} = \frac{15}{2} = 7.5 \frac{км}{ч}\]
• Шаг 2: Определим скорость катера против течения реки:
  \[v_{против течения} = \frac{S_{против течения}}{t} = \frac{9}{2} = 4.5 \frac{км}{ч}\]
• Шаг 3: Найдём собственную скорость катера:
  \[v_{катера} = \frac{v_{по течению} + v_{против течения}}{2} = \frac{7.5 + 4.5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \frac{км}{ч}\]
• Шаг 4: Так как скорость течения реки известна (3 км/ч), можем найти собственную скорость катера:
  \[v_{собств} = \frac{1}{2} \cdot (v_{по течению} + v_{против течения}) = v_{катера}\] Известно, что скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения, а скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения:
  \[v_{по течению} = v_{собств} + v_{течения}\]\[v_{против течения} = v_{собств} - v_{течения}\] Сложим эти два уравнения:
  \[v_{по течению} + v_{против течения} = 2 \cdot v_{собств}\] Выразим собственную скорость:
  \[v_{собств} = \frac{v_{по течению} + v_{против течения}}{2}\] Подставим известные значения:
  \[v_{собств} = \frac{7.5 + 4.5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \frac{км}{ч}\] Однако, в условии задачи сказано, что скорость течения реки составляет 3 км/ч. Если мы учтем это, то получим:
  \[v_{собств} = v_{по течению} - v_{течения} = 7.5 - 3 = 4.5 \frac{км}{ч}\] Или:
  \[v_{собств} = v_{против течения} + v_{течения} = 4.5 + 3 = 7.5 \frac{км}{ч}\] Но, по условию, нам нужно найти собственную скорость катера, если известна скорость течения. Тогда:
  \[v_{собств} = \frac{15}{2} - 3 = 7.5 - 3 = 4.5 \frac{км}{ч}\]
• Ошибка в решении! Сейчас исправим. Пусть x - собственная скорость катера, тогда: x + 3 - скорость по течению, x - 3 - скорость против течения. Тогда: \(\frac{15}{x+3}\) - время по течению, \(\frac{9}{x-3}\) - время против течения. Так как всего катер был в пути 2 часа, то: \(\frac{15}{x+3} + \frac{9}{x-3} = 2\) \(15(x-3) + 9(x+3) = 2(x^2 - 9)\) \(15x - 45 + 9x + 27 = 2x^2 - 18\) \(24x - 18 = 2x^2 - 18\) \(2x^2 - 24x = 0\) \(2x(x - 12) = 0\) \(x = 0\) - не подходит \(x = 12\) км/ч - собственная скорость катера. Тогда время по течению: \(\frac{15}{12+3} = \frac{15}{15} = 1\) час Время против течения: \(\frac{9}{12-3} = \frac{9}{9} = 1\) час 1 + 1 = 2 часа - сходится!

Ответ: 9 км/ч