Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на расстоянии 120 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран В высотой 330 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Решение:

Эта задача решается с помощью подобия треугольников. Лучи от проектора, освещающие экран, образуют два подобных треугольника.

Пусть:

• \( H_A \) — высота экрана А, \( H_A = 80 \) см.
• \( D_A \) — расстояние от проектора до экрана А, \( D_A = 120 \) см.
• \( H_B \) — высота экрана В, \( H_B = 330 \) см.
• \( D_B \) — расстояние от проектора до экрана В (искомое).

По условию, настройки проектора остаются неизменными, что означает, что угол освещения одинаков. Таким образом, мы имеем два подобных прямоугольных треугольника, где:

1. Первый треугольник образован проектором и экраном А.
2. Второй треугольник образован проектором и экраном В.

Из подобия треугольников следует пропорция:

\( \frac{H_A}{D_A} = \frac{H_B}{D_B} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{80 \text{ см}}{120 \text{ см}} = \frac{330 \text{ см}}{D_B} \)

Теперь выразим \( D_B \):

\( D_B = \frac{330 \text{ см} \cdot 120 \text{ см}}{80 \text{ см}} \)

Сократим дробь:

\( D_B = \frac{330 \cdot 12}{8} \text{ см} \)

\( D_B = \frac{330 \cdot 3}{2} \text{ см} \)

\( D_B = 165 \cdot 3 \text{ см} \)

\( D_B = 495 \text{ см} \)

Ответ: 495 см.