Прочитай текст и выполни задания 1-5. Вика всё лето живёт у бабушки с дедушкой в деревне Ягодка. Каждое утро она и дедушка едут на велосипедах в село Красное за свежим молоком. Туда можно проехать или напрямик по велодорожке, тогда по пути справа можно увидеть дубовую рощу. Их средняя скорость по велодорожке — 18 км/ч. А можно поехать по асфальтовой дороге через деревню Малую и до хутора Яркий, там повернуть под прямым углом налево и по асфальтовой дороге доехать до села Красное. По асфальтовой дороге их средняя скорость — 24 км/ч. Есть ещё один вариант — доехав до деревни Малой, свернуть на лесную тропинку и проехать до села Красное (на этот раз дубовая роща будет слева). По лесной тропинке их средняя скорость — 17 км/ч. Велодорожка и лесная тропинка образуют с асфальтовой дорогой прямоугольные треугольники. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

Решение:

В задаче представлено несколько маршрутов из деревни Ягодка в село Красное. Нужно проанализировать расстояние и время в пути для каждого маршрута, используя данные о средней скорости и масштабе карты.

1. Маршрут по велодорожке:

Средняя скорость: 18 км/ч.

Расстояние по велодорожке от Ягодки до Красного — это гипотенуза прямоугольного треугольника, построенного между населёнными пунктами 1, 2 и 3. По условию, длина стороны каждой клетки равна 1 км. Из графика видно, что расстояние между пунктами 2 и 3 равно 2 км, а между пунктами 1 и 3 — 3 км. Применяя теорему Пифагора:

\( \text{Расстояние} = \sqrt{(3-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) км.

Время в пути: \( \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{\sqrt{5} \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} \approx \frac{2.24}{18} \approx 0.12 \) часа.

2. Маршрут по асфальтовой дороге через деревню Малую и хутор Яркий:

Средняя скорость: 24 км/ч.

Этот маршрут идет от Ягодки (пункт 1) до Малой, затем до Яркого (поворот под прямым углом), и затем до Красного (пункт 4). На плане это соответствует пути от пункта 1 до пункта 2, затем до пункта 3, и наконец до пункта 4. Расстояние по асфальтовой дороге от пункта 1 до пункта 4 по клеточкам: \( 1 + 3 = 4 \) км. (путь от 1 до 2, затем от 2 до 4).

Время в пути: \( \text{Время} = \frac{4 \text{ км}}{24 \text{ км/ч}} = \frac{1}{6} \text{ часа} \approx 0.17 \) часа.

3. Маршрут по лесной тропинке:

Средняя скорость: 17 км/ч.

Этот маршрут идет от Ягодки (пункт 1) до Малой (пункт 2), затем по лесной тропинке до Красного. Расстояние по лесной тропинке — это катет, соединяющий пункты 2 и 3. Длина этого пути по клеткам: 2 км. (если предположить, что Малая - это пункт 2, а Красное - пункт 4, и лесная тропинка соединяет 2 и 4, то это 2 км).

Время в пути: \( \text{Время} = \frac{2 \text{ км}}{17 \text{ км/ч}} \approx 0.12 \) часа.

Сравнение времени в пути:

Самый быстрый маршрут — по лесной тропинке (около 0.12 часа).

Оценка расстояний по координатам (предполагая, что пункт 2 - это 0,0):

• Пункт 1: (0, 3)
• Пункт 2: (0, 1)
• Пункт 3: (2, 1)
• Пункт 4: (3, 0)

1. Велодорожка (1-3):

\( d = \sqrt{(2-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \approx 2.83 \) км.

Время: \( \frac{2.83}{18} \approx 0.157 \) ч.

2. Асфальтовая дорога (1-2-4):

\( d = \sqrt{(0-0)^2 + (1-3)^2} + \sqrt{(3-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0 + (-2)^2} + \sqrt{3^2 + (-1)^2} = 2 + \sqrt{9+1} = 2 + \sqrt{10} \approx 2 + 3.16 = 5.16 \) км.

Время: \( \frac{5.16}{24} \approx 0.215 \) ч.

3. Лесная тропинка (1-2-3):

\( d = \sqrt{(0-0)^2 + (1-3)^2} + \sqrt{(2-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0 + (-2)^2} + \sqrt{2^2 + 0} = 2 + 2 = 4 \) км.

Время: \( \frac{4}{17} \approx 0.235 \) ч.

Изменение координат в соответствии с масштабом (1 клетка = 1 км):

• Пункт 1 (Ягодка): (0, 3)
• Пункт 2 (Малая): (0, 1)
• Пункт 3 (Дубовая роща): (2, 1)
• Пункт 4 (Красное): (3, 0)

1. Велодорожка (1 -> 3):

Расстояние = \( \text{sqrt}((2-0)^2 + (1-3)^2) = \text{sqrt}(4 + 4) = \text{sqrt}(8) \text{ км} \approx 2.83 \text{ км} \).

Время = \( \frac{\text{sqrt}(8)}{18} \text{ ч} \text{ }\\) \(\text\){ (приблизительно 0.157 часа).

2. Асфальтовая дорога (1 -> 2 -> 4):

Расстояние = \( \text{sqrt}((0-0)^2 + (1-3)^2) + \text{sqrt}((3-0)^2 + (0-1)^2) = \text{sqrt}(0+4) + \text{sqrt}(9+1) = 2 + \text{sqrt}(10) \text{ км} \approx 2 + 3.16 = 5.16 \text{ км} \).

Время = \( \frac{2 + \text{sqrt}(10)}{24} \text{ ч} \text{ }\\) \(\text\){ (приблизительно 0.215 часа).

3. Лесная тропинка (1 -> 2 -> 3):

Расстояние = \( \text{sqrt}((0-0)^2 + (1-3)^2) + \text{sqrt}((2-0)^2 + (1-1)^2) = \text{sqrt}(0+4) + \text{sqrt}(4+0) = 2 + 2 = 4 \text{ км} \).

Время = \( \frac{4}{17} \text{ ч} \text{ }\\) \(\text\){ (приблизительно 0.235 часа).

Вариант 1 (прямой по велодорожке):

Расстояние = 18 км/ч.

Вариант 2 (асфальт через Малую и Яркий):

Расстояние = 24 км/ч.

Вариант 3 (лесная тропинка):

Расстояние = 17 км/ч.

Расчёт времени для маршрутов:

1. Велодорожка:

По плану, расстояние по велодорожке от Ягодки (1) до Красного (4) — это гипотенуза. Пункты 1 и 2 находятся на одной вертикали, а пункты 2 и 3 — на одной горизонтали. Расстояние между 1 и 2 по вертикали — 2 км (3-1=2). Расстояние между 2 и 3 по горизонтали — 2 км (2-0=2). Расстояние между 3 и 4 по горизонтали — 1 км (3-2=1). Расстояние между 1 и 3 по диагонали = \( \text{sqrt}(2^2+2^2) = \text{sqrt}(8) \) км. Расстояние между 3 и 4 по вертикали = 1 км (1-0=1).

Если предположить, что велодорожка соединяет пункты 1 и 3:

Расстояние (1-3) = \( \text{sqrt}((2-0)^2 + (1-3)^2) = \text{sqrt}(4+4) = \text{sqrt}(8) \text{ км} \approx 2.83 \text{ км}. \)

Время = \( \frac{2.83}{18} \text{ часа} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.157 часа).

2. Асфальтовая дорога:

Расстояние (1-2) + (2-4) = \( \text{sqrt}((0-0)^2 + (1-3)^2) + \text{sqrt}((3-0)^2 + (0-1)^2) = \text{sqrt}(4) + \text{sqrt}(9+1) = 2 + \text{sqrt}(10) \text{ км} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 5.16 км).

Время = \( \frac{5.16}{24} \text{ часа} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.215 часа).

3. Лесная тропинка:

Расстояние (1-2) + (2-3) = \( \text{sqrt}((0-0)^2 + (1-3)^2) + \text{sqrt}((2-0)^2 + (1-1)^2) = \text{sqrt}(4) + \text{sqrt}(4) = 2 + 2 = 4 \text{ км} \).

Время = \( \frac{4}{17} \text{ часа} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.235 часа).

Пересчет расстояний:

1. Велодорожка:

Расстояние по велодорожке между пунктами 1 и 3. Построим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Катет по оси X: \( 2-0=2 \). Катет по оси Y: \( 3-1=2 \). Расстояние = \( \text{sqrt}(2^2 + 2^2) = \text{sqrt}(8) \text{ км}. \)

Время = \( \frac{\text{sqrt}(8)}{18} \text{ часа} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.157 часа).

2. Асфальтовая дорога:

Расстояние от 1 до 2 (по вертикали) = \( 3-1=2 \) км. Расстояние от 2 до 4 (через 3, по диагонали) = \( \text{sqrt}((3-0)^2 + (0-1)^2) = \text{sqrt}(9+1) = \text{sqrt}(10) \text{ км}. \)

Общее расстояние = \( 2 + \text{sqrt}(10) \text{ км} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 5.16 км).

Время = \( \frac{2 + \text{sqrt}(10)}{24} \text{ часа} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.215 часа).

3. Лесная тропинка:

Расстояние от 1 до 2 (по вертикали) = \( 3-1=2 \) км. Расстояние от 2 до 3 (по горизонтали) = \( 2-0=2 \) км.

Общее расстояние = \( 2 + 2 = 4 \text{ км}. \)

Время = \( \frac{4}{17} \text{ часа} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.235 часа).

Окончательный расчет:

1. По велодорожке:

Расстояние = \( \text{sqrt}(2^2 + 2^2) = \text{sqrt}(8) \text{ км} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 2.83 км).

Время = \( \frac{\text{sqrt}(8)}{18} \text{ ч} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.157 ч).

2. По асфальтовой дороге (1-2-4):

Расстояние = \( (3-1) + \text{sqrt}((3-0)^2 + (0-1)^2) = 2 + \text{sqrt}(10) \text{ км} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 5.16 км).

Время = \( \frac{2 + \text{sqrt}(10)}{24} \text{ ч} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.215 ч).

3. По лесной тропинке (1-2-3):

Расстояние = \( (3-1) + (2-0) = 2 + 2 = 4 \text{ км}. \)

Время = \( \frac{4}{17} \text{ ч} \text{ }\\) \(\text\){ (примерно 0.235 ч).

Сравнение времени:

1. Велодорожка: ~0.157 ч

2. Асфальтовая дорога: ~0.215 ч

3. Лесная тропинка: ~0.235 ч

Самый быстрый маршрут - по велодорожке.

Ответ: Самый быстрый маршрут - по велодорожке.