Ответ:

  1. Я хотел помочь, но не знал как. Союз «но» подходит, потому что вторая часть противопоставлена первой.
  2. Солнце светит, а идёт дождь. Союз «а» правильно передаёт противопоставление.
  3. Мы пошли в парк и катались на качелях. Союз «и» соединяет сообщения о связанных действиях.