3. Про 20 последовательных натуральных чисел N + 1, N + 2, ..., N + 20 известно, что сумма 11 наименьших из них делится на 9, а сумма 9 наибольших из них делится на 11. При каком наименьшем N такое возможно?

Решим задачу. Сумма 11 наименьших чисел: $$(N+1) + (N+2) + ... + (N+11) = 11N + (1 + 2 + ... + 11) = 11N + \frac{11 \cdot 12}{2} = 11N + 66 = 11(N+6)$$. Чтобы эта сумма делилась на 9, необходимо, чтобы $$N+6$$ делилось на 9. Значит, $$N+6 = 9k$$ для некоторого целого числа $$k$$, то есть $$N = 9k - 6$$. Сумма 9 наибольших чисел: $$(N+12) + (N+13) + ... + (N+20) = 9N + (12 + 13 + ... + 20) = 9N + (\frac{20 \cdot 21}{2} - \frac{11 \cdot 12}{2}) = 9N + (210 - 66) = 9N + 144$$. Чтобы эта сумма делилась на 11, необходимо, чтобы $$9N + 144$$ делилось на 11. Подставим $$N = 9k - 6$$: $$9(9k - 6) + 144 = 81k - 54 + 144 = 81k + 90$$. Нужно, чтобы $$81k + 90$$ делилось на 11. Или $$81k + 90 \equiv 0 \pmod{11}$$. $$81k \equiv -90 \pmod{11}$$. Поскольку $$81 \equiv 4 \pmod{11}$$ и $$-90 \equiv -2 \pmod{11}$$, то $$4k \equiv -2 \pmod{11}$$. Умножим на 3: $$12k \equiv -6 \pmod{11}$$, значит, $$k \equiv -6 \equiv 5 \pmod{11}$$. То есть $$k = 11m + 5$$ для некоторого целого числа $$m$$. Тогда $$N = 9k - 6 = 9(11m + 5) - 6 = 99m + 45 - 6 = 99m + 39$$. Чтобы найти наименьшее $$N$$, возьмем $$m=0$$. Тогда $$N = 39$$. Проверим: $$N = 39$$. Сумма 11 наименьших чисел: $$11(39+6) = 11 \cdot 45 = 495$$. $$495 \div 9 = 55$$, делится. Сумма 9 наибольших чисел: $$9(39) + 144 = 351 + 144 = 495$$. $$495 \div 11 = 45$$, делится. Ответ: наименьшее $$N$$ равно 39.