ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.

Решение:

Для определения равных прямоугольных треугольников будем использовать признаки равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам (II признак), по катету и острому углу (III признак), по катету и гипотенузе (IV признак).

Задание 1

Треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle BDC$$ являются прямоугольными, так как $$\angle C = 90^{\circ}$$ и $$\angle D = 90^{\circ}$$.

У них есть общий катет $$BC$$.

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны (IV признак).

В $$\triangle ABC$$: катет $$CD$$, гипотенуза $$AC$$.

В $$\triangle BDC$$: катет $$BD$$, гипотенуза $$BC$$.

Если $$AC = BC$$ и $$CD = BD$$, то $$\triangle ACD = \triangle BCD$$ по двум катетам.

Если $$AC = BC$$ и $$AB = BD$$, то $$\triangle ABC = \triangle ABD$$ по катету и гипотенузе.

Из рисунка видно, что $$AC = BC$$ и $$CD$$ - это высота. $$BD$$ - медиана. Из того, что $$CD \perp AB$$ и $$AC=BC$$, следует, что $$\triangle ABC$$ равнобедренный. $$CD$$ является и высотой, и медианой, и биссектрисой. Тогда $$\triangle ACD = \triangle BCD$$ по двум катетам ($$CD$$ — общий катет, $$AD=BD$$).

Задание 2

Треугольники $$\triangle MKE$$ и $$\triangle NKЕ$$ являются прямоугольными, так как $$\angle MEK = 90^{\circ}$$ и $$\angle NEK = 90^{\circ}$$.

У них есть общий катет $$KE$$.

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны (III признак).

Если $$ME=NE$$ и $$\angle MKE = \angle NKE$$, то $$\triangle MKE = \triangle NKE$$ по двум катетам.

Если $$KE=KE$$ (общий катет) и $$\angle KME = \angle KNE$$, то $$\triangle MKE = \triangle NKЕ$$ по катету и острому углу.

Если $$KE=KE$$ (общий катет) и $$\angle M = \angle N$$, то $$\triangle MKE = \triangle NKЕ$$ по катету и острому углу.

Задание 3

Треугольники $$\triangle SRE$$ и $$\triangle STE$$ являются прямоугольными, так как $$\angle SER = 90^{\circ}$$ и $$\angle SET = 90^{\circ}$$.

У них есть общий катет $$SE$$.

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны (IV признак).

Если $$SR = ST$$ (катеты) и $$RE = TE$$, то $$\triangle SRE = \triangle STE$$ по двум катетам.

Если $$SE$$ (общий катет) и $$SR = ST$$, то $$\triangle SRE = \triangle STE$$ по катету и прилежащему острому углу ($$\angle SRE = \angle STE$$ не дано, но $$\angle RSE = \angle TSE$$ дано).

Если $$SE$$ (общий катет) и $$\angle SRE = \angle STE$$, то $$\triangle SRE = \triangle STE$$ по катету и острому углу.

Если $$SR = ST$$ (катеты) и $$RE = TE$$, то $$\triangle SRE = \triangle STE$$ по двум катетам.

Задание 4

Треугольники $$\triangle PNL$$ и $$\triangle MNL$$ являются прямоугольными, так как $$\angle PNL = 90^{\circ}$$ и $$\angle MNL = 90^{\circ}$$.

У них есть общий катет $$NL$$.

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны (IV признак).

Если $$PN = MN$$ (катеты) и $$NL = NL$$ (общий катет), то $$\triangle PNL = \triangle MNL$$ по двум катетам.

Если $$PN = MN$$ (катеты) и $$PL = ML$$, то $$\triangle PNL = \triangle MNL$$ по двум катетам.

Задание 5

Треугольники $$\triangle KTS$$ и $$\triangle KTR$$ являются прямоугольными, так как $$\angle KTS = 90^{\circ}$$ и $$\angle KTR = 90^{\circ}$$.

У них есть общий катет $$KT$$.

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны (IV признак).

Если $$TS = TR$$ (катеты) и $$KT = KT$$ (общий катет), то $$\triangle KTS = \triangle KTR$$ по двум катетам.

Задание 6

Треугольники $$\triangle SRK$$ и $$\triangle SLK$$ являются прямоугольными, так как $$\angle SRK = 90^{\circ}$$ и $$\angle SLK = 90^{\circ}$$.

У них есть общий катет $$SK$$.

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны (IV признак).

Если $$SR = SL$$ (катеты) и $$RK = LK$$, то $$\triangle SRK = \triangle SLK$$ по двум катетам.

Задание 7

Треугольники $$\triangle OAB$$ и $$\triangle OBC$$ являются прямоугольными, так как $$\angle OAB = 90^{\circ}$$ и $$\angle OBC = 90^{\circ}$$.

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны (III признак).

Если $$OA = OB$$ (катеты) и $$\angle AOВ = \angle COB$$, то $$\triangle OAB = \triangle OBC$$ по катету и острому углу.

Если $$AB = BC$$ (гипотенузы) и $$\angle AOB = \angle COB$$, то $$\triangle OAB = \triangle OBC$$ по катету и острому углу.

Задание 8

Треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle BDC$$ являются прямоугольными, так как $$\angle DAC = 90^{\circ}$$ и $$\angle DBC = 90^{\circ}$$.

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны (IV признак).

У них общий катет $$CD$$.

Если $$AD = BD$$ (катеты) и $$CD = CD$$ (общий катет), то $$\triangle ADC = \triangle BDC$$ по двум катетам.

Если $$AC = BC$$ (гипотенузы) и $$CD = CD$$ (общий катет), то $$\triangle ADC = \triangle BDC$$ по катету и гипотенузе.

Если $$AC = BC$$ (гипотенузы) и $$AD = BD$$, то $$\triangle ADC = \triangle BDC$$ по катету и гипотенузе.

Ответ: Пары равных прямоугольных треугольников: (1) $$\triangle ACD = \triangle BCD$$ по двум катетам ($$AD=BD$$, $$CD$$-общий), (2) $$\triangle MKE = \triangle NKЕ$$ по катету и острому углу ($$KE$$-общий катет, $$\angle M = \angle N$$), (3) $$\triangle SRE = \triangle STE$$ по катету и острому углу ($$SE$$-общий катет, $$\angle RSE = \angle TSE$$), (4) $$\triangle PNL = \triangle MNL$$ по двум катетам ($$NL$$-общий катет, $$PN=MN$$), (5) $$\triangle KTS = \triangle KTR$$ по двум катетам ($$KT$$-общий катет, $$TS=TR$$), (6) $$\triangle SRK = \triangle SLK$$ по двум катетам ($$SK$$-общий катет, $$SR=SL$$), (7) $$\triangle OAB = \triangle OBC$$ по катету и острому углу ($$OB$$-общий катет, $$\angle AOB = \angle COB$$), (8) $$\triangle ADC = \triangle BDC$$ по катету и гипотенузе ($$CD$$-общий катет, $$AC=BC$$).