Пример. Проверить, что точки A(3, −1, 2), B(1, 2, −1), C(−1, 1, −3), D(3, −5, 3) служат вершинами трапеции. Указание: проверить коллинеарность векторов AB и DC.

Question

Вопрос:

Фото задания

Пример. Проверить, что точки A(3, −1, 2), B(1, 2, −1), C(−1, 1, −3), D(3, −5, 3) служат вершинами трапеции. Указание: проверить коллинеарность векторов AB и DC.

Accepted Answer

Найдём векторы, образованные противоположными сторонами:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(1-3,\;2-(-1),\;-1-2)=(-2,3,-3)\).

\(\overrightarrow{DC}=C-D=(-1-3,\;1-(-5),\;-3-3)=(-4,6,-6)=2\overrightarrow{AB}\).

Значит, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) коллинеарны, поэтому стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны.

Проверим, что точки лежат в одной плоскости. Возьмём \(\overrightarrow{AD}=(0,-4,1)\) и \(\overrightarrow{AC}=(-4,2,-5)\). Смешанное произведение равно нулю:

\([\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}]=(-9,2,8)\cdot(-4,2,-5)=36+4-40=0\).

Следовательно, точки компланарны. Кроме того, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) не коллинеарны, поэтому четырёхугольник невырожденный.

Ответ: точки A, B, C, D являются вершинами трапеции ABCD; её параллельные стороны — AB и DC.