Контрольные задания
Вопрос:

ПРИМЕР 3. Точка М — середина стороны CD параллелограмма ABCD. Точка K делит сторону BC на отрезки с длинами а и b так, что угол АМК равен 90°. Найдите длину отрезка АК (рис. 39).

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение:

Дано: ABCD — параллелограмм, M — середина CD, K ∈ BC, \( \angle AMK = 90^{\circ} \), \( BK = a \), \( CK = b \).

Найти: AK.

Построение: Проведем отрезок AM. Точка K делит сторону BC на отрезки BK и CK. Точка M — середина стороны CD.

Решение:

  1. Введем систему координат. Пусть точка D будет началом координат \( (0,0) \). Пусть сторона AD лежит на оси абсцисс.
  2. Пусть \( AD = c \) и \( AB = d \).
  3. Координаты вершин параллелограмма: \( D = (0,0) \), \( A = (c,0) \), \( C = (x_C, y_C) \), \( B = (x_B, y_B) \).
  4. Поскольку ABCD — параллелограмм, \( \vec{AB} = \vec{DC} \), значит, \( x_B = x_C \) и \( y_B = y_C \).
  5. Точка M — середина CD, поэтому \( M = (\frac{0+x_C}{2}, \frac{0+y_C}{2}) = (\frac{x_C}{2}, \frac{y_C}{2}) \).
  6. Точка K лежит на BC. Пусть \( BC = h \). Тогда \( BK = a \) и \( CK = b \), значит, \( h = a+b \).
  7. Координаты точки B: \( B = (x_C, y_C) \). Координаты точки C: \( C = (x_C, y_C) \).
  8. Так как K делит BC в отношении \( BK:KC = a:b \), то координаты K можно найти по формуле деления отрезка в заданном отношении: \( K = (\frac{b x_B + a x_C}{a+b}, \frac{b y_B + a y_C}{a+b}) \).
  9. Поскольку \( x_B = x_C \) и \( y_B = y_C \), то \( K = (\frac{b x_C + a x_C}{a+b}, \frac{b y_C + a y_C}{a+b}) = (x_C, y_C) \). Это значит, что K совпадает с B.
  10. По условию \( \angle AMK = 90^{\circ} \). Это значит, что векторы \( \vec{AM} \) и \( \vec{MK} \) перпендикулярны.
  11. \( \vec{AM} = (\frac{x_C}{2} - c, \frac{y_C}{2} - 0) = (\frac{x_C}{2} - c, \frac{y_C}{2}) \).
  12. \( \vec{MK} = (x_C - \frac{x_C}{2}, y_C - \frac{y_C}{2}) = (\frac{x_C}{2}, \frac{y_C}{2}) \).
  13. Скалярное произведение \( \vec{AM} \cdot \vec{MK} = 0 \):
  14. \( (\frac{x_C}{2} - c)(\frac{x_C}{2}) + (\frac{y_C}{2})(\frac{y_C}{2}) = 0 \)
  15. \( \frac{x_C^2}{4} - \frac{c x_C}{2} + \frac{y_C^2}{4} = 0 \)
  16. \( x_C^2 - 2c x_C + y_C^2 = 0 \)
  17. Длина отрезка AK: \( AK^2 = (x_K - x_A)^2 + (y_K - y_A)^2 \).
  18. Так как K совпадает с B, \( AK^2 = (x_C - c)^2 + (y_C - 0)^2 = x_C^2 - 2c x_C + c^2 + y_C^2 \).
  19. Из уравнения \( x_C^2 - 2c x_C + y_C^2 = 0 \) следует, что \( x_C^2 + y_C^2 = 2c x_C \).
  20. Подставляем в \( AK^2 \): \( AK^2 = (x_C^2 + y_C^2) - 2c x_C + c^2 = 2c x_C - 2c x_C + c^2 = c^2 \).
  21. Значит, \( AK = c \).

Ответ: AK = c.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание