Пример 3. Решите уравнение: 1) (x+3)³ = 9(x+3); 2) 4x²-7x+13=(x+3)²; 3) x⁶ = (11x-18)³;

Решение

1) $$(x+3)^3 = 9(x+3)$$

Перенесём всё в левую часть:

$$(x+3)^3 - 9(x+3) = 0$$

Вынесем общий множитель $$(x+3)$$ за скобки:

$$(x+3)((x+3)^2 - 9) = 0$$

Применим формулу разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$:

$$(x+3)((x+3-3)(x+3+3)) = 0$$

$$(x+3)(x)(x+6) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x+3=0 \Rightarrow x=-3$$

$$x=0$$

$$x+6=0 \Rightarrow x=-6$$

Ответ: $$x=-6, x=-3, x=0$$.

2) $$4x^2-7x+13=(x+3)^2$$

Раскроем скобки в правой части:

$$4x^2-7x+13 = x^2+6x+9$$

Перенесём все члены в левую часть:

$$4x^2 - x^2 - 7x - 6x + 13 - 9 = 0$$

$$3x^2 - 13x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$$

$$\\sqrt{D} = \\sqrt{121} = 11$$

$$x_1 = \frac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$$

$$x_2 = \frac{-b - \\sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$x=4, x=\frac{1}{3}$$.

3) $$x^6 = (11x-18)^3$$

Представим $$x^6$$ как $$(x^2)^3$$:

$$(x^2)^3 = (11x-18)^3$$

Извлечём кубический корень из обеих частей:

$$x^2 = 11x-18$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^2 - 11x + 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$$

$$\\sqrt{D} = \\sqrt{49} = 7$$

$$x_1 = \frac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-b - \\sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: $$x=2, x=9$$.