Пример 2: Производная произведения функций Условие: Найдите производную функции f(x) = x³ * Ine x. Что нужно найти: d/dx f(x), то есть производную функции f`(x).

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций \( u(x) \) и \( v(x) \) используется формула:

\( (u \cdot v)' = u'v + uv' \)

В нашем случае:

• \( u(x) = x^3 \), тогда \( u'(x) = 3x^2 \).
• \( v(x) = \ln(x) \), тогда \( v'(x) = \frac{1}{x} \).

Применяем формулу:

\[ f'(x) = (3x^2) \cdot \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} \]

Упрощаем выражение:

\[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \]

Можно вынести \( x^2 \) за скобки:

\[ f'(x) = x^2 (3 \ln(x) + 1) \]

Ответ: \( f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \) или \( f'(x) = x^2 (3 \ln(x) + 1) \).