Пример 13.2.4 а) Решите уравнение cos 2x-√2sin(x+π)-1=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 7π 2 ; -2π].

Решение:

а) Решаем уравнение:

1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
2. Подставим в исходное уравнение: \( 1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin(x+\pi) - 1 = 0 \).
3. Учитывая, что \( \sin(x+\pi) = -\sin x \), получаем: \( 1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}(-\sin x) - 1 = 0 \).
4. Упрощаем: \( -2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0 \).
5. Вынесем \( \sin x \) за скобки: \( \sin x (\sqrt{2} - 2\sin x) = 0 \).
6. Получаем два случая:
• \( \sin x = 0 \)
• \( \sqrt{2} - 2\sin x = 0 \) => \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
7. Решаем каждый случай:
• \( \sin x = 0 \) => \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.
• \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) => \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

б) Укажем корни, принадлежащие отрезку [\(-\frac{7\pi}{2}\); \(-2\pi\)].

Рассмотрим корни \( x = \pi k \):

• Если \( k = -1 \), \( x = -\pi \) (не принадлежит отрезку).
• Если \( k = -2 \), \( x = -2\pi \) (принадлежит отрезку).
• Если \( k = -3 \), \( x = -3\pi \) (принадлежит отрезку, так как \(-3\pi \approx -9.42 \) и \(-\frac{7\pi}{2} \approx -10.99 \)).
• Если \( k = -4 \), \( x = -4\pi \) (не принадлежит отрезку).

Рассмотрим корни \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \):

• Если \( n = -1 \), \( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \) (не принадлежит отрезку, так как \(-\frac{7\pi}{4} \approx -5.5 \) и \(-2\pi \approx -6.28 \)).
• Если \( n = -2 \), \( x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4} \) (принадлежит отрезку, так как \(-\frac{15\pi}{4} \approx -11.78 \) и \(-\frac{7\pi}{2} \approx -10.99 \)).

Рассмотрим корни \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \):

• Если \( n = -1 \), \( x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \) (не принадлежит отрезку).
• Если \( n = -2 \), \( x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = -\frac{13\pi}{4} \) (принадлежит отрезку, так как \(-\frac{13\pi}{4} \approx -10.21 \) и \(-2\pi \approx -6.28 \)).

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку, это \( -2\pi \), \( -3\pi \), \(-\frac{15\pi}{4}\), \(-\frac{13\pi}{4}\).

Ответ: а) \( x = \pi k \), \( x = \\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( x = \\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа. б) \( -3\pi, -2\pi, -15\pi/4, -13\pi/4 \).