3 Применение (Использование знаний в стандартных ситуациях, решение типовых задач) Решите задачу: "Периметр параллелограмма равен 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма". Найдите углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 70°. Используя свойства диагоналей прямоугольника, найдите длину диагонали, если стороны равны 6 см и 8 см. Постройте ромб по стороне и проведенной диагонали. 4. Анализ (Разбиение информации на части, выявление взаимосвязей, поиск аргументов) Сравните свойства диагоналей прямоугольника, ромба и квадрата. Что у них общего и в чем различие? Разберите готовое доказательство признака параллелограмма (через равенство и параллельность противоположных сторон) и выделите его ключевые этапы. Определите, является ли четырехугольник с заданными координатами вершин параллелограммом. Обоснуйте свой ответ, используя разные способы (равенство сторон, координаты середины диагоналей). "Верно ли, что если в четырехугольнике диагонали равны, то это прямоугольник?" Проанализируйте это утверждение и приведите контрпример.

Решим задачи по геометрии: 3.1. Параллелограмм: Пусть одна сторона параллелограмма равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$(x + 5)$$ см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть $$2(x + x + 5) = 50$$. Решим уравнение: $$2(2x + 5) = 50$$ $$4x + 10 = 50$$ $$4x = 40$$ $$x = 10$$ Значит, одна сторона равна 10 см, а другая $$10 + 5 = 15$$ см. Ответ: Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см. 3.2. Равнобедренная трапеция: В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Если один из углов равен 70°, то второй угол при этом же основании также равен 70°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Следовательно, два других угла трапеции равны $$180° - 70° = 110°$$. Ответ: Углы равнобедренной трапеции равны 70°, 70°, 110° и 110°. 3.3. Диагональ прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон: $$d^2 = a^2 + b^2$$, где $$a$$ и $$b$$ - стороны прямоугольника, а $$d$$ - диагональ. В данном случае, $$a = 6$$ см и $$b = 8$$ см. $$d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ $$d = \sqrt{100} = 10$$ Ответ: Длина диагонали прямоугольника равна 10 см. 4.1. Свойства диагоналей:

• Прямоугольник: диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
• Ромб: диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба, точкой пересечения делятся пополам.
• Квадрат: диагонали равны, перпендикулярны, являются биссектрисами углов (45°), и точкой пересечения делятся пополам.

Общее: У всех этих фигур диагонали точкой пересечения делятся пополам. Различия: Только у ромба и квадрата диагонали перпендикулярны. Только у прямоугольника и квадрата диагонали равны. Только у квадрата диагонали являются биссектрисами углов и равны. 4.2. Доказательство признака параллелограмма: Готовое доказательство признака параллелограмма (через равенство и параллельность противоположных сторон):

• Дано: Четырёхугольник ABCD, в котором AB = CD и AB || CD.
• Доказать: ABCD — параллелограмм.
• Доказательство:
  1. Проведём диагональ AC.
  2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. В них:
     • AB = CD (по условию)
     • AC — общая сторона
     • ∠BAC = ∠DCA (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC)
  3. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
  4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон, то есть ∠BCA = ∠DAC.
  5. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. Значит, BC || AD.
  6. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD и BC || AD).
  7. Следовательно, по определению, ABCD — параллелограмм.

Ключевые этапы: Равенство треугольников, параллельность сторон. 4.3. Определение, является ли четырёхугольник параллелограммом: Чтобы определить, является ли четырёхугольник с заданными координатами вершин параллелограммом, можно использовать несколько способов:

• Равенство сторон: Найти длины противоположных сторон и проверить, что они попарно равны.
• Координаты середины диагоналей: Найти координаты середин диагоналей и проверить, что они совпадают.

4.4. Анализ утверждения: Утверждение "Верно ли, что если в четырехугольнике диагонали равны, то это прямоугольник?" - неверно. Контрпример: равнобедренная трапеция, у которой диагонали равны, но она не является прямоугольником.