Прикладная математика. Найти наибольшее значение функции $$f = x^2y^2$$ при условии $$x+2y=4$$.

Решение:

Заданная функция $$f = x^2y^2$$ и условие $$x+2y=4$$. Из условия выразим $$x$$: $$x = 4 - 2y$$. Подставим это выражение в функцию $$f$$:

$$f(y) = (4 - 2y)^2 y^2 = (16 - 16y + 4y^2)y^2 = 16y^2 - 16y^3 + 4y^4$$.

Теперь найдём производную функции $$f(y)$$ по $$y$$:

$$f'(y) = \frac{d}{dy}(4y^4 - 16y^3 + 16y^2) = 16y^3 - 48y^2 + 32y$$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$16y^3 - 48y^2 + 32y = 0$$.

Вынесем общий множитель $$16y$$:

$$16y(y^2 - 3y + 2) = 0$$.

Решим квадратное уравнение $$y^2 - 3y + 2 = 0$$. Корни равны $$y=1$$ и $$y=2$$.

Таким образом, критические точки $$y=0, y=1, y=2$$.

Проверим значения функции $$f(y)$$ в этих точках:

• При $$y=0$$: $$x = 4 - 2(0) = 4$$. $$f = 4^2 \times 0^2 = 0$$.
• При $$y=1$$: $$x = 4 - 2(1) = 2$$. $$f = 2^2 \times 1^2 = 4$$.
• При $$y=2$$: $$x = 4 - 2(2) = 0$$. $$f = 0^2 \times 2^2 = 0$$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: 4.