6.04.26. Пригонометрические морлиулы І вар Дано: Sind=0,6., £<L<Ⅱ Вычислите: а) sened of cos2d 6) sen 2) cos슬, g) ty 2) Упростите выражение 2 a) 2 sen² + cosL f 4 cos²-2.cosL+3

Задание 1

Дано: \[\sin(\alpha) = 0.6\]; \[\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\]

Вычислить:

a) \[\sin(2\alpha)\]

б) \[\cos(2\alpha)\]

в) \[\sin(\frac{\alpha}{2})\]

г) \[\cos(\frac{\alpha}{2})\]

д) \[\tan(\frac{\alpha}{2})\]

Решение:

• Найдем \[\cos(\alpha)\]. Так как \[\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\], то \[\cos(\alpha) < 0\].
• Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\]
• \[\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64\]
• \[\cos(\alpha) = -\sqrt{0.64} = -0.8\] (знак минус, так как \[\cos(\alpha) < 0\])
• а) \[\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2 \cdot 0.6 \cdot (-0.8) = -0.96\]
• б) \[\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = (-0.8)^2 - (0.6)^2 = 0.64 - 0.36 = 0.28\]
• в) \[\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-0.8)}{2}} = \sqrt{\frac{1.8}{2}} = \sqrt{0.9} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \approx 0.9487\]
• г) \[\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-0.8)}{2}} = \sqrt{\frac{0.2}{2}} = \sqrt{0.1} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.3162\]
• д) \[\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\sqrt{0.9}}{\sqrt{0.1}} = \sqrt{\frac{0.9}{0.1}} = \sqrt{9} = 3\]

Ответ:

а) \[\sin(2\alpha) = -0.96\]

б) \[\cos(2\alpha) = 0.28\]

в) \[\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{3\sqrt{10}}{10} \approx 0.9487\]

г) \[\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.3162\]

д) \[\tan(\frac{\alpha}{2}) = 3\]

Задание 2

Упростите выражение:

a) \[2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\alpha)\]

б) \[4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 2\cos(\alpha) + 3\]

Решение:

• а) \[2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1 - \cos(\alpha)}{2} + \cos(\alpha) = 1 - \cos(\alpha) + \cos(\alpha) = 1\]
• б) \[4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 2\cos(\alpha) + 3 = 4 \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{2} - 2\cos(\alpha) + 3 = 2(1 + \cos(\alpha)) - 2\cos(\alpha) + 3 = 2 + 2\cos(\alpha) - 2\cos(\alpha) + 3 = 5\]

Ответ:

а) 1

б) 5