Придя в школу, Юра успел поздороваться через рукопожатие со всеми своими одноклассниками (мальчиками), а Коля — со всеми, кроме Васи. Больше никто не успел ни с кем поздороваться. Сколько в классе мальчиков, если известно, что было сделано 22 рукопожатия?

Решение:

Пусть \( n \) — общее количество мальчиков в классе.

1. Рукопожатия Юры:

Юра поздоровался со всеми своими одноклассниками-мальчиками. Так как он сам является одним из мальчиков, он поздоровался с \( n-1 \) мальчиком.

2. Рукопожатия Коли:

Коля поздоровался со всеми, кроме Васи. Следовательно, Коля поздоровался с \( n-2 \) мальчиками (исключая себя и Васю).

3. Общее количество рукопожатий:

В задаче сказано, что всего было сделано 22 рукопожатия. Это означает, что суммарное количество рукопожатий, совершенных Юрой и Колей, равно 22. Важно учесть, что если Юра и Коля поздоровались друг с другом, это рукопожатие было учтено дважды (один раз Юрой, другой раз Колей).

4. Рассматриваем два случая:

Случай А: Юра и Коля поздоровались друг с другом.

В этом случае общее количество уникальных рукопожатий равно: (рукопожатия Юры) + (рукопожатия Коли, не считая рукопожатие с Юрой).
Количество рукопожатий Юры = \( n-1 \).
Количество рукопожатий Коли = \( n-2 \).
Если они поздоровались друг с другом, то из \( n-2 \) рукопожатий Коли, одно — с Юрой. Значит, Коля поздоровался ещё с \( n-3 \) мальчиками (кроме Юры и Васи).

Тогда общее число рукопожатий = \( (n-1) + (n-3) \) = \( 2n - 4 \).

Приравниваем к 22: \( 2n - 4 = 22 \) \( \Rightarrow \) \( 2n = 26 \) \( \Rightarrow \) \( n = 13 \).

Проверим этот результат: Если в классе 13 мальчиков. Юра поздоровался с 12. Коля поздоровался со всеми, кроме Васи. Предположим, Вася — это не Юра и не Коля. Тогда Коля поздоровался с \( 13 - 2 = 11 \) мальчиками. Рукопожатие между Юрой и Колей учтено. Общее число рукопожатий: \( 12 \) (Юры) + \( 11 \) (Коли, исключая Юру) = 23. Это не 22.

Случай Б: Юра и Коля не поздоровались друг с другом (что невозможно, так как Коля поздоровался со всеми, кроме Васи, и Юра поздоровался со всеми, значит, они должны были поздороваться, если только один из них не Вася).

Давайте переформулируем: общее число рукопожатий = (все рукопожатия Юры) + (все рукопожатия Коли) - (рукопожатие между Юрой и Колей, если оно было).

Если Юра и Коля — разные люди, и Коля — не Вася, и Юра — не Вася:

Рукопожатий Юры = \( n-1 \).

Рукопожатий Коли = \( n-2 \).

Если они поздоровались друг с другом, то общее число рукопожатий = \( (n-1) + (n-2) - 1 \) = \( 2n - 4 \).
\( 2n - 4 = 22 \) \( \Rightarrow \) \( 2n = 26 \) \( \Rightarrow \) \( n = 13 \).

Проверим: 13 мальчиков. Юра поздоровался с 12. Коля поздоровался с 11 (не считая себя и Васи). Если Вася — это один из 13 мальчиков, и он не Коля. Юра поздоровался со всеми 12. Коля поздоровался с 11. Если Вася — это не Юра, то Коля поздоровался со всеми, кроме Васи, значит, Коля поздоровался со всеми, кроме одного мальчика (Васи) и себя. Если Юра - это тот мальчик, с которым Коля поздоровался, то Коля поздоровался с Юрой. И Юра поздоровался с Колей. Это одно рукопожатие. Тогда общее число рукопожатий = 12 (Юры) + 11 (Коли, исключая Васи и себя) = 23. Не подходит.

Давайте предположим, что рукопожатия Юры и Коли — это все 22 рукопожатия.

Юра сделал \( n-1 \) рукопожатий.

Коля сделал \( n-2 \) рукопожатий.

Если рукопожатие между Юрой и Колей было, то общее количество рукопожатий = \( (n-1) + (n-2) - 1 \) = \( 2n - 4 \).

\( 2n - 4 = 22 \) \( \Rightarrow \) \( 2n = 26 \) \( \Rightarrow \) \( n = 13 \).

Если в классе 13 мальчиков, Юра поздоровался с 12. Коля поздоровался с 11 (со всеми, кроме Васи и себя). Предположим, Вася — это не Юра и не Коля. Тогда общее число рукопожатий: Юра сделал 12. Коля сделал 11. Общее число уникальных рукопожатий: 12 (Юры) + 11 (Коли, исключая Юру) = 23. Не подходит.

Давайте предположим, что рукопожатие между Юрой и Колей — это не одно и то же рукопожатие.

Если Юра поздоровался со всеми \( n-1 \) мальчиками, и это 22 рукопожатия, тогда \( n-1=22 \) \( \Rightarrow \) \( n=23 \).
Но тогда Коля поздоровался бы с \( 23-2=21 \) мальчиком.
Это противоречие.

Рассмотрим вариант, когда Коля — это Вася.
Но по условию Коля поздоровался со всеми, кроме Васи. Если Коля — это Вася, то он поздоровался со всеми, кроме себя. Значит, Коля поздоровался с \( n-1 \) мальчиком.
Юра поздоровался со всеми \( n-1 \) мальчиками.
Если Коля — это Вася, то Юра тоже мог поздороваться с Колей. Тогда общее число рукопожатий = \( (n-1) + (n-1) - 1 \) (если Юра и Коля поздоровались друг с другом) = \( 2n-3 \).
\( 2n-3=22 \) \( \Rightarrow \) \( 2n=25 \) \( \Rightarrow \) \( n=12.5 \). Не подходит.

Если Юра — это Вася.
Тогда Коля поздоровался со всеми, кроме Юры. Коля поздоровался с \( n-2 \) мальчиками.
Юра поздоровался со всеми \( n-1 \) мальчиками. Но если Юра — Вася, то Коля не мог поздороваться с Юрой.
Но Юра поздоровался со всеми. Это значит, что Вася (Юра) поздоровался со всеми, включая Колю. Это противоречие.

Вернемся к самому простому:

Пусть \( n \) — число мальчиков.

Юра сделал \( n-1 \) рукопожатий.

Коля сделал \( n-2 \) рукопожатий.

Суммарно все рукопожатия = 22.

Если Юра и Коля — разные люди, и они поздоровались друг с другом, то: \( (n-1) + (n-2) - 1 \) = \( 2n - 4 \) рукопожатий.

\( 2n - 4 = 22 \) \( \Rightarrow \) \( 2n = 26 \) \( \Rightarrow \) \( n = 13 \).

Проверим: 13 мальчиков. Юра поздоровался с 12. Коля поздоровался со всеми, кроме Васи. Пусть Вася — это не Юра, и не Коля. Тогда Коля поздоровался с \( 13 - 2 = 11 \) мальчиками. Если Юра и Коля поздоровались друг с другом, то общее число рукопожатий = 12 (Юры) + 11 (Коли, не считая Юры) = 23. Не подходит.

Другая интерпретация:

«Юра успел поздороваться через рукопожатие со всеми своими одноклассниками (мальчиками)» — это \( n-1 \) рукопожатий.

«а Коля — со всеми, кроме Васи» — это \( n-2 \) рукопожатий.

«Больше никто не успел ни с кем поздороваться». Это означает, что общее число рукопожатий, совершенных Юрой и Колей, равно 22.

Если считать, что в классе 6 мальчиков. Юра поздоровался с 5. Коля поздоровался с 4 (кроме Васи и себя). Если Юра и Коля поздоровались друг с другом, то общее число рукопожатий = 5 + (4-1) = 8. Не 22.

Если в классе 8 мальчиков. Юра поздоровался с 7. Коля поздоровался с 6 (кроме Васи и себя). Если Юра и Коля поздоровались друг с другом, то общее число = 7 + (6-1) = 12. Не 22.

Если в классе 10 мальчиков. Юра поздоровался с 9. Коля поздоровался с 8 (кроме Васи и себя). Если Юра и Коля поздоровались друг с другом, то общее число = 9 + (8-1) = 16. Не 22.

Если в классе 12 мальчиков. Юра поздоровался с 11. Коля поздоровался с 10 (кроме Васи и себя). Если Юра и Коля поздоровались друг с другом, то общее число = 11 + (10-1) = 20. Не 22.

Если в классе 13 мальчиков. Юра поздоровался с 12. Коля поздоровался с 11 (кроме Васи и себя). Если Юра и Коля поздоровались друг с другом, то общее число = 12 + (11-1) = 22.

Проверим: 13 мальчиков. Юра поздоровался с 12. Коля поздоровался с 11 (все, кроме Васи и себя). Вася — это не Юра и не Коля. Все 12 рукопожатий Юры учтены. Коля поздоровался с 11 другими мальчиками. Рукопожатие между Юрой и Колей учтено в 12 рукопожатиях Юры. Коля сделал 11 рукопожатий. Одно из них — с Юрой. Другие 10 — с остальными мальчиками (кроме Васи и себя). Итого: 12 (Юры) + 10 (Коли, не считая Юру и Васю) = 22.

Итак, в классе 13 мальчиков.

Проверка:

Число мальчиков \( n = 13 \).

Юра поздоровался с \( n-1 = 12 \) мальчиками.

Коля поздоровался со всеми, кроме Васи. Пусть Вася — один из 13 мальчиков, и он не Коля. Тогда Коля поздоровался с \( n-2 = 13-2=11 \) мальчиками.

Всего рукопожатий = 22.

Рукопожатия Юры: {Юра, М2}, {Юра, М3}, ..., {Юра, М13}. (12 рукопожатий).

Рукопожатия Коли: {Коля, М2}, {Коля, М3}, ..., {Коля, М13}, кроме одного (Васи). Пусть Вася = М13. Тогда Коля поздоровался с {Коля, М2}, ..., {Коля, М12}. (11 рукопожатий).

Юра и Коля — разные мальчики, и они поздоровались друг с другом. Рукопожатие {Юра, Коля} учтено в рукопожатиях Юры.

Общее количество уникальных рукопожатий = (Рукопожатия Юры) + (Рукопожатия Коли, не считая рукопожатия с Юрой).

Общее количество = \( 12 + (11 - 1) \) = \( 12 + 10 = 22 \).

Это соответствует условию.

Ответ: 13