При всех а решить уравнение |3x+6|+|3x-12| = a.

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = |3x+6| + |3x-12| \). Найдем критические точки, приравнивая выражения под модулем к нулю:

• \( 3x + 6 = 0 \rightarrow 3x = -6 \rightarrow x = -2 \)
• \( 3x - 12 = 0 \rightarrow 3x = 12 \rightarrow x = 4 \)

Разделим числовую прямую на три интервала:

1. При \( x < -2 \): \( 3x + 6 < 0 \) и \( 3x - 12 < 0 \). \( f(x) = -(3x+6) - (3x-12) = -3x - 6 - 3x + 12 = -6x + 6 \).
2. При \( -2 ≤ x < 4 \): \( 3x + 6 ≥ 0 \) и \( 3x - 12 < 0 \). \( f(x) = (3x+6) - (3x-12) = 3x + 6 - 3x + 12 = 18 \).
3. При \( x ≥ 4 \): \( 3x + 6 > 0 \) и \( 3x - 12 ≥ 0 \). \( f(x) = (3x+6) + (3x-12) = 3x + 6 + 3x - 12 = 6x - 6 \).

График функции \( f(x) \) выглядит как "галочка" с нижней точкой в \( x=-2 \), где \( f(-2) = |-6+6| + |-6-12| = 0 + 18 = 18 \), и постоянным значением \( f(x) = 18 \) на отрезке \( [-2; 4] \).

Теперь проанализируем количество решений уравнения \( f(x) = a \) в зависимости от \( a \):

• Если \( a < 18 \), то прямая \( y = a \) не пересекает график \( f(x) \), следовательно, решений нет.
• Если \( a = 18 \), то прямая \( y = 18 \) совпадает с отрезком \( [-2; 4] \) графика \( f(x) \), поэтому решений бесконечно много (все \( x \) из отрезка \( [-2; 4] \)).
• Если \( a > 18 \), то прямая \( y = a \) пересекает две ветви графика \( f(x) \) ( \( y = -6x + 6 \) при \( x < -2 \) и \( y = 6x - 6 \) при \( x ≥ 4 \)), следовательно, есть два решения.

Сопоставим полученные результаты с вариантами:

• a > 18 соответствует два решения.
• a = 18 соответствует решения на отрезке [-2; 4].
• a < 18 соответствует решений нет.

Ответ:

a > 18 — два решения

a = 18 — решения на отрезке [-2; 4]

a < 18 — решений нет