При произвольном делении покоившегося ядра химического элемента образовалось три осколка массами: 3m, 4,5m, 5m. Скорости первых двух взаимно перпендикулярны, а их модули равны соответственно 4v и 2v. Определите отношение модулей скоростей третьего и первого осколков.

Так как исходное ядро покоилось, по закону сохранения импульса:

\[\vec p_1+\vec p_2+\vec p_3=0.\]

Импульсы первых двух осколков взаимно перпендикулярны:

\[p_1=3m\cdot4v=12mv,\qquad p_2=4.5m\cdot2v=9mv.\]

Следовательно, импульс третьего осколка по модулю равен результирующему импульсу первых двух:

\[p_3=\sqrt{p_1^2+p_2^2}=\sqrt{(12mv)^2+(9mv)^2}=15mv.\]

Для третьего осколка массой \(5m\):

\[u_3=\frac{p_3}{5m}=\frac{15mv}{5m}=3v.\]

Скорость первого осколка равна \(u_1=4v\), поэтому

\[\frac{u_3}{u_1}=\frac{3v}{4v}=\frac34.\]

Ответ: \(\frac34\).