При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Обозначим события:

• \(A\) — пациент действительно имеет заболевание.
• \(\overline{A}\) — пациент не имеет заболевания.
• \(B\) — тест оказался положительным.
• \(\overline{B}\) — тест оказался отрицательным.

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что тест подтверждает наличие заболевания, если оно есть (чувствительность теста): \( P(B|A) = 0.86 \).
• Вероятность того, что тест выявляет отсутствие заболевания, если его нет (специфичность теста): \( P(\overline{B}|\overline{A}) = 0.94 \).
• Вероятность того, что тест оказывается положительным в среднем у пациентов: \( P(B) = 0.10 \).

Известно, что \( P(\overline{B}|\overline{A}) = 0.94 \), следовательно, вероятность ложноположительного результата (тест положительный, но заболевания нет) равна \( P(B|\overline{A}) = 1 - P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 - 0.94 = 0.06 \).

Также из условия, что тест оказывается положительным у 10% пациентов, мы имеем \( P(B) = 0.10 \).

Нам нужно найти вероятность того, что пациент действительно имеет заболевание, при условии, что тест оказался положительным, то есть \( P(A|B) \).

Используем теорему Байеса:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

Для этого нам нужно найти \( P(A) \) — априорную вероятность наличия заболевания. Мы можем выразить \( P(B) \) через полную вероятность:

\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) \]

Пусть \( P(A) = x \), тогда \( P(\overline{A}) = 1 - x \).

Подставим известные значения:

\[ 0.10 = 0.86 \cdot x + 0.06 \cdot (1 - x) \]

\[ 0.10 = 0.86x + 0.06 - 0.06x \]

\[ 0.10 - 0.06 = 0.86x - 0.06x \]

\[ 0.04 = 0.80x \]

\[ x = \frac{0.04}{0.80} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20} = 0.05 \]

Итак, априорная вероятность наличия заболевания \( P(A) = 0.05 \).

Теперь подставим это значение в формулу Байеса:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.86 \cdot 0.05}{0.10} = \frac{0.043}{0.10} = 0.43 \]

Таким образом, вероятность того, что пациент действительно имеет заболевание, при положительном результате теста, составляет 0.43.

Ответ: 0.43