При каком значении параметра п прямые 5x – 4y = 14 и 2x – 5y = 1 пересекаются в точке, принадлежащей оси у? Запиши ответ числом. n = ______

Решение:

Чтобы найти точку пересечения прямых, нам нужно решить систему уравнений:

• 1) 5x – 4y = 14
• 2) 2x – 5y = 1

Точка, принадлежащая оси у, имеет координату x = 0. Подставим x = 0 в оба уравнения:

• 1) 5(0) – 4y = 14
• –4y = 14
• y = 14 / –4
• y = –3.5

• 2) 2(0) – 5y = 1
• –5y = 1
• y = 1 / –5
• y = –0.2

Поскольку для каждой прямой мы получили разное значение y при x = 0, это означает, что прямые пересекаются в точке, которая НЕ лежит на оси у, если n = 1. Нам нужно найти такое значение n, чтобы точка пересечения лежала на оси у. Это значит, что при x = 0, значение y должно быть одинаковым для обеих прямых.

Давайте решим систему уравнений, чтобы найти общую точку пересечения, и затем приравняем y-координату к значению, полученному из уравнения оси y.

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы привести коэффициенты при x к одному значению:

• 1) 2 * (5x – 4y = 14) => 10x – 8y = 28
• 2) 5 * (2x – 5y = 1) => 10x – 25y = 5

Теперь вычтем второе модифицированное уравнение из первого:

• (10x – 8y) – (10x – 25y) = 28 – 5
• 10x – 8y – 10x + 25y = 23
• 17y = 23
• y = 23 / 17

Теперь подставим значение y в одно из исходных уравнений, чтобы найти x. Используем второе уравнение (2x – 5y = 1):

• 2x – 5 * (23 / 17) = 1
• 2x – 115 / 17 = 1
• 2x = 1 + 115 / 17
• 2x = 17 / 17 + 115 / 17
• 2x = 132 / 17
• x = (132 / 17) / 2
• x = 66 / 17

Точка пересечения этих двух прямых (без параметра n) — (66/17, 23/17).

Теперь рассмотрим третье уравнение: 2x – 5y = n. Если точка пересечения должна принадлежать оси у, то x = 0. Найдем значение y для этого случая:

• 2(0) – 5y = n
• –5y = n
• y = –n / 5

Теперь, мы знаем, что точка пересечения принадлежит оси у, значит, x=0. Для того, чтобы точка пересечения принадлежала оси у, она должна удовлетворять обоим уравнениям, и ее x-координата должна быть равна 0.

Из первого уравнения: 5x - 4y = 14. Если x = 0, то -4y = 14, следовательно y = -14/4 = -3.5.

Из второго уравнения: 2x - 5y = n. Если x = 0, то -5y = n, следовательно y = -n/5.

Чтобы точка пересечения лежала на оси у, значение y должно быть одинаковым для обеих прямых при x = 0. Следовательно, мы должны приравнять значения y:

• -3.5 = -n/5

Умножим обе стороны на -5:

• (-3.5) * (-5) = n
• 17.5 = n

Таким образом, при n = 17.5 прямые пересекутся в точке, принадлежащей оси у.

Проверка:

Первое уравнение: 5x – 4y = 14. При x = 0, y = -3.5. Точка (0, -3.5).

Второе уравнение: 2x – 5y = 17.5. При x = 0, -5y = 17.5, y = -17.5 / 5 = -3.5. Точка (0, -3.5).

Точки пересечения совпадают, значит, n = 17.5.

Ответ: 17.5