При каких значениях параметра р квадратное уравнение x² + 6px + 9 = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет корней?

Решение:

Рассмотрим квадратное уравнение: \[x^2 + 6px + 9 = 0\]

Дискриминант этого уравнения равен: \[D = (6p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36p^2 - 36 = 36(p^2 - 1)\]

а) Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант больше нуля:

• \[D > 0\]
• \[36(p^2 - 1) > 0\]
• \[p^2 - 1 > 0\]
• \[p^2 > 1\]
• \[|p| > 1\]
• Следовательно, \[p < -1\] или \[p > 1\]

б) Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю:

• \[D = 0\]
• \[36(p^2 - 1) = 0\]
• \[p^2 - 1 = 0\]
• \[p^2 = 1\]
• \[p = \pm 1\]
• Следовательно, \[p = -1\] или \[p = 1\]

в) Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля:

• \[D < 0\]
• \[36(p^2 - 1) < 0\]
• \[p^2 - 1 < 0\]
• \[p^2 < 1\]
• \[|p| < 1\]
• Следовательно, \[-1 < p < 1\]

Ответ:

• a) \[p < -1\] или \[p > 1\]
• б) \[p = -1\] или \[p = 1\]
• в) \[-1 < p < 1\]