При каких значениях параметра а уравнение $$\frac{x^2 - 2x + a^2 - 4a}{x^2 - a} = 0$$ имеет ровно 2 различных решения.

Решение:

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

1. Условие: \( x^2 - 2x + a^2 - 4a = 0 \) и \( x^2 - a \neq 0 \).
2. Квадратное уравнение \( x^2 - 2x + a^2 - 4a = 0 \) должно иметь два различных корня. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(a^2 - 4a) = 4 - 4a^2 + 16a \).
3. Для двух различных корней необходимо \( D > 0 \): \( 4 - 4a^2 + 16a > 0 \) \( 1 - a^2 + 4a > 0 \) \( a^2 - 4a - 1 < 0 \). Найдем корни уравнения \( a^2 - 4a - 1 = 0 \): \( a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \). Значит, \( 2 - \sqrt{5} < a < 2 + \sqrt{5} \).
4. Условие \( x^2 - a \neq 0 \) означает, что корни уравнения \( x^2 - 2x + a^2 - 4a = 0 \) не должны быть равны \( \pm \sqrt{a} \).
5. Подставим \( x = \sqrt{a} \) в числитель: \( (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a} + a^2 - 4a = a - 2\sqrt{a} + a^2 - 4a = a^2 - 3a - 2\sqrt{a} = 0 \).
6. Подставим \( x = -\sqrt{a} \) в числитель: \( (-\sqrt{a})^2 - 2(-\sqrt{a}) + a^2 - 4a = a + 2\sqrt{a} + a^2 - 4a = a^2 - 3a + 2\sqrt{a} = 0 \).
7. Решим \( a^2 - 3a - 2\sqrt{a} = 0 \). Если \( a = 0 \), то \( 0 = 0 \). Если \( a \neq 0 \), то \( a^{3/2} - 3a^{1/2} - 2 = 0 \). Пусть \( t = \sqrt{a} \), \( t^4 - 3t^2 - 2t = 0 \) \( t(t^3 - 3t - 2) = 0 \). \( t^3 - 3t - 2 = 0 \). Корни: \( t = -1 \) (не подходит, т.к. \( t \ge 0 \)), \( t = 2 \). Значит, \( \sqrt{a} = 2 \) \( a = 4 \).
8. Решим \( a^2 - 3a + 2\sqrt{a} = 0 \). Если \( a = 0 \), то \( 0 = 0 \). Если \( a \neq 0 \), то \( a^{3/2} - 3a^{1/2} + 2 = 0 \). Пусть \( t = \sqrt{a} \), \( t^4 - 3t^2 + 2t = 0 \) \( t(t^3 - 3t + 2) = 0 \). \( t^3 - 3t + 2 = 0 \). Корни: \( t = -2 \) (не подходит), \( t = 1 \). Значит, \( \sqrt{a} = 1 \) \( a = 1 \).
9. Таким образом, \( a \neq 0 \), \( a \neq 4 \), \( a \neq 1 \).
10. Учитывая \( 2 - \sqrt{5} < a < 2 + \sqrt{5} \) (приблизительно \( -0.236 < a < 4.236 \)), и \( a \neq 0, 1, 4 \), получаем интервалы: \( (2 - \sqrt{5}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 4) \cup (4, 2 + \sqrt{5}) \).

Ответ: \( a \in (2 - \sqrt{5}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 4) \cup (4, 2 + \sqrt{5}) \).